Математична модель

Відео: Побудова математичної моделі

Математична модель (Рус. математична модель, англ. Mathematic model- ньому. Mathematisches Model n) - система математичних співвідношень, що описують досліджуваний процес або явище. Математична модель має важливе значення для таких наук, як: економіка, екологія, соціологія, фізика, хімія, механіка, інформатика, біологія та ін.
При отриманні р.р. використовують загальні закони природознавства, спеціальні закони конкретних наук, результати пасивних і активних експериментів, імітаційне моделювання за допомогою ЕОМ. Р.р. дозволяють передбачити хід процесу, розрахувати цільову функцію (вихідні параметри процесу), керувати процесом, проектувати системи з бажаними характеристиками.
Для створення математичних моделей можна використовувати будь-які математичні засоби - мова диференціальних або інтегральних рівнянь, теорії множин, абстрактної алгебри, математичної логіки, теорії ймовірностей, графи та інші. Процес створення математичної моделі називається математичним моделюванням. Це самий загальний і найбільш використовуваний в науці, зокрема, в кібернетиці, метод досліджень.
Якщо відношення задаються аналітично, то їх можна вирішити в замкнутому вигляді (явно) щодо шуканих змінних як функції від параметрів моделі, або в частково замкнутому вигляді (неявно), коли шукані змінні залежать від одного або багатьох параметрів моделі. До моделей цього класу відносяться диференціальні, інтегральні, різницеві рівняння, імовірнісні моделі, моделі математичного програмування та інші.


Якщо не можна отримати точне рішення математичної моделі, використовуються чисельні (обчислювальні) методи або інші види моделювання.
Залежно від того, які параметри системи і зовнішні обурення р.р. можуть бути детермінованими і стохастичними. Останні мають особливо важливе значення при дослідженні і проектуванні великих систем зі складними зв`язками і властивостями, які важко врахувати. Математичний опис безперервного процесу (напр., Диференціальнимирівняннями) являє собою безперервну р.р.


Якщо ж р.р. описує стан системи тільки для дискретних значень незалежної змінної і нехтує характером процесів, що протікають в проміжках між ними, то така модель є дискретною (тут важливий вибір кроку дискретності, від якого залежить точність опису реального об`єкта його М.М.). Якщо параметри об`єкта, для якого розробляють М.М., можна вважати незалежними від часу, то така система описується стаціонарної моделлю, характерна особливість якої - постійні коефіцієнти. В іншому випадку М.М. є нестаціонарної.
При математичному моделюванні орієнтуються на моделі стандартного виду, які забезпечені відповідним математичним апаратом. Так фізичні процеси характеризуються просторово-часовими співвідношеннями і в загальному випадку описуються диференціальними рівняннями в приватних похідних.
Важливим моментом структурування моделі є феноменологічний метод, коли субпроцесів можуть бути представлені окремими моделями, вихідні величини яких є вхідними для інших (наступних) субпроцесів. В цьому випадку М.М. складного процесу являє собою систему моделей (рівнянь), знайдених для кожного субпроцесів.
Для розробки р.р. широко використовується диференціальне числення, теорія множин, матриці і графи, а також планування експерименту. Відповідно розрізняють теоретико-множинні, матричні, топологічні і поліномні р.р. Приклади моделей:

Увага, тільки СЬОГОДНІ!