Хвилі де бройля

Відео: Лекція 4 Гіпотеза де Бройля

Хвилі де Бройля - основний компонент корпускулярно-хвильового дуалізму Луї де Бройля, який в середині 20-х років 20-го століття спробував побудувати альтернативну аксіоматичну квантову теорію відмінну від концепції, що базується на рівнянні Шредінгера. Основна думка де Бройля полягає в поширенні основних законів квантової теорії світла (вірніше випромінювання Планка - Ейнштейна) на рух матеріальних частинок певної маси. З рухом будь-якої вільної частинки, яка має енергію E і імпульс , Де Бройль зв`язує плоску хвилю



де - Радіус-вектор частинки, вільно рухається t - час. Частота цієї хвилі? і її хвильовий вектор пов`язані з енергією і імпульсом частинки такими ж рівняннями, справедливі і для квантів світла, тобто:

.

Це і є основні рівняння де Бройля. На відміну від теорії квантів світла, де йшли від хвильової концепції до корпускулярної, тут все протікало навпаки - від корпускулярної - до хвильової. Тобто тут ми доповнюємо корпускулярну теорію елементами хвильової, шляхом введення частоти? і довжини хвилі , Пов`язаних з рухом частинок.
Підставляючи значення для? і в вираз для плоскої хвилі, отримуємо дещо змінений вираз для плоскої матеріальної хвилі, яка залежить від величини енергії E і імпульсу p:



Таку хвилю і називають хвилею де Бройля. Питання про природу цих матеріальних хвиль - не просте ... На перший погляд може здатися, що рух матеріальних хвиль не може мати ніякого зв`язку з механічними законами руху часток. Однак це не так. Щоб переконатися в цьому досить розглянути властивості хвиль де Бройля. Заради спрощення розглянемо рух хвилі вздовж осі O X (Одновимірний випадок):



величина t ? - k x являє собою фазу плоскої хвилі. Можна розглянути деяку точку x, де фаза має певне значення?. Координата цієї точки визначається з рівняння

,

звідки видно, що значення фази? буде з плином часу буде переміщатися в просторі зі швидкістю u, яку можна отримати шляхом диференціювання попереднього рівняння по t:

.

Ця швидкість називається фазовою. Якщо ця швидкість залежить від k, а також і від довжини хвилі? (так як ), То має місце дисперсія хвиль. На відміну від електромагнітних хвиль, для хвиль де Бройля дисперсія існує і в порожньому просторі (вакуум). Це властивість випливає з самого визначення основних рівнянь де Бройля. Дійсно, між енергією E і імпульсом p існує певний зв`язок. Для швидкостей частинки (C - швидкість світла), тобто в області справедливості механіки Ньютона, енергія частинки, вільно рухається:



де m 0 - маса частинки. Підставляючи це значення E в основні рівняння де Бройля і висловлюючи p 2 через k 2, знаходимо:





і значить є функція від k.
Тепер можна перейти до встановлення зв`язку між рухом хвилі і частинки. Для цього можна розглянути не строго монохроматичному хвилю, яка має певну частоту? і довжину хвилі , А майже монохроматичну хвилю, яку будемо називати групою хвиль. Під групою хвиль будемо розуміти суперпозицію хвиль, які мало відрізняються один від іншого по довжині хвилі і напрямку поширення. Для простоти можна розглянути групу хвиль, поширюється в напрямку O X. Згідно з цим визначенням групи ми можемо написати для коливання? (X, t) такий вираз:



де є хвильове число, у якого лежать хвильові числа хвиль, що утворюють групу (? k передбачається досить малим). Внаслідок того, що? k мале, ми можемо розкласти частоту?, яка є функція від k за ступенями k - k 0. Тоді отримуємо:




.

взявши k - k 0 в якості нової змінної інтегрування? і вважаючи, що амплітуда c (k) є функція, повільно змінюється з k, знаходимо, що? (X, t) може бути представлена у вигляді:

.

Виконуючи просте інтегрування по? (X, t), знаходимо:



З огляду на малість? k, величина c (x, t) буде повільно змінюватися зі зміною t і x. Тому c (x, t) можна розглядати як амплітуду майже монохроматичної хвилі, а? t - k 0 x - як її фазу. визначимо точку x, де амплітуда c (x, t) має максимум. Цю точку будемо називати центром групи хвиль. Очевидно, що даний максимум буде знаходитися в точці



Звідси випливає, що центр групи буде переміщатися зі швидкістю V, яку можна знайти шляхом диференціювання попереднього рівняння по t, т.е .:

). Якби хвилі не мали дисперсії, то ми б мали тривіальний випадок V = u. У разі хвиль де Бройля, враховуючи дисперсію, маємо . Тому групова швидкість V тут буде:



Однак, оскільки h k = p, а з іншого боку p = m 0 v, де v - швидкість частинки. Тому ми приходимо до важливого висновку:



-

що групова швидкість хвиль де Бройля дорівнює механічної швидкості частинки v.
Отримані вище співвідношення для одновимірного простору, можуть бути легко поширені на загальний випадок руху в тривимірному просторі:









або у векторній формі:



Обчислимо для двох випадків довжину хвилі де Бройля. оскільки



тому в разі малих швидкостей з урахуванням , Будемо мати:



Ця формула дозволяє обчислення довжини хвилі?, Знаючи масу m 0 і енергію частинки E.
Можна використовувати цю формулу для електрона. В даному випадку при г висловлюючи енергію в e V (Електрон-вольтах), між іншим E = e V, де e - заряд електрона, а V - різхніця потенціалів, що прискорює електрон, яка вимірюється в вольтах:

A

для V = 1 e V отримаємо = 12,2 A (ангстрем), а для V = 10000 e V буде -? = 0,122 A.

Увага, тільки СЬОГОДНІ!