Інтеграл вздовж траєкторій

Відео: Шамара М.М., 09.12.2009. Інтеграли по траєкторіям і формули Фейнмана

Ілюстрація дерева шляхів, що ведуть з точки A в точку B Інтеграл вздовж траєкторій - математичний оператор, який використовується в Фейнмановому формулюванні квантової механіки.
Формальне визначення інтеграла вздовж траєкторій дається формулою

,

де , - Безліч всіх траєкторій, що з`єднують початкову точку і кінцеву точку , M - маса квантової частинки, - Зведена постійна Планка.
Постулатом Фейманового формулювання квантової механіки є те, що пропагандиста задається інтегралом вздовж траєкторій:

,

де - Класична дію.
На відміну від звичайного інтеграла, в якому підсумовуються значення функції на відрізку, в інтегралі уздовж траєкторій підсумовуються значення функції уздовж всіх можливих кривих, що з`єднують початкову та кінцеву точку. В рамках Фейнманового формулювання квантової механіки такий інтеграл визначає амплітуду ймовірності того, що квантова частинка переміститься з початкової точки в кінцеву.
Якщо в класичній механіці реалізується і з траєкторій, якій відповідає найменше значення дії, то в квантовій механіці свій внесок в імовірність переходу частки з однієї точки в іншу вносять всі можливі криві, що з`єднують ці точки. Оскільки в квантовій механіці визначається не ймовірність переходу, а амплітуда ймовірності, то внески різних траєкторій інтерферують.
Квантову механіку можна виразити через інтеграли вздовж траєкторій, використовуючи також канонічні змінні - координату і імпульс. Пропагатор частки задається при такому підході через співвідношення:



,

де - Функція Гамільтона.
Інтегрування проводиться уздовж всіх траєкторій в фазовому просторі з фіксованим значенням координати в початковій і кінцевій точках.
У квантової статистичної механіки зележна від температури матриця щільності задовольняє рівняння

,

де , K B - постійна Больцмана.
Формальний рішення цього рівняння



.

Статистична сума дорівнює сліду від матриці щільності

.

Вводячи умовний «час» , де - Зведена постійна Планка, і розбиваючи інтервал [0, U] на дрібні інтервали, можна записати

,

розглядаючи всі можливі траєкторії, якими система може переміститися з початкового стану при нескінченно високій температурі в кінцевий стан при температурі, визначається значенням U.
Формулювання квантової механіки через інтеграли вздовж траєкторій розробив в 1948 році Річард Фейнман.


Увага, тільки СЬОГОДНІ!