Механіка гамільтона

Відео: Доповідь А.П.Ефремова на засіданні наукового семінару Інституту гравітації і космології РУДН

механіка Гамільтона це одне з формулювань законів механіки, в загальному аналогічне законам Ньютона, але зручне для узагальнень, використання в статистичній фізиці і для переходу до квантової механіки.
функція Гамільтона визначається через узагальнені координати і узагальнені імпульси виходячи з функції Лагранжа наступним чином.
Узагальнені імпульси визначаються, як

.

Функція Гамільтона визначається згідно

.

Після цього всі узагальнені швидкості d виражаються через узагальнені імпульси і координати.
За своєю суттю функція Гамільтона є енергією системи, вираженою через координати і імпульси.
У разі стаціонарних зв`язків і потенційних зовнішніх сил

,

тобто функція Гамільтона є сумою потенційної і кінетичної енергій, але при цьому кінетична енергія повинна бути виражена через імпульси, а не через швидкості.
Рівняння еволюції динамічної системи записуються в гамільтонової механіці у вигляді

,


.

Ці рівняння називаються канонічними рівняннями Гамільтона. Вони повністю визначають еволюцію системи з плином часу в тому сенсі, що знаючи значення узагальнених координат і швидкостей в певний початковий момент часу, можна визначити їх значення в будь-який інший час після цього часу, вирішуючи дану систему рівнянь.
Функція Гамільтона для заряду в електромагнітному полі
Всього сила Лоренца не є потенційною силою, оскільки залежить від швидкості руху заряду. Однак її можна включити в Механіка Гамільтона записавши функцію Гамільтона зарядженої частинки в такій формі:



де e - заряд частинки, - Електростатичний потенціал, - Векторний потенціал.
В релятивістському випадку матимемо:



.

Функція Гамільтона в теорії відносності
Функцію Гамільтона в релятивістському випадку можна отримати шляхом стандартної процедури, знаючи функцію Лагранжа (Див. "Механіку" Ландау):



Як видно, її вираження повністю збігається з виразом для потенційної енергії релятивістської частинки, і не залежить в явній формі від імпульсу. Знаючи релятивістський імпульс, цей вислів можна переписати у вигляді квадратичної форми:

,

з якої і отримуємо загальновизнаний вираз для функції Гамільтона:

.

Це вираз для функції Гамільтона широко використовується в класичній і квантовій механіці.
Використання в квантовій механіці
У квантовій механіці оператор енергії будується за класичною функції Гамільтона заміною узагальнених імпульсів p i на оператори імпульсу , де - Зведена постійна Планка. Такий оператор називається гамильтонианом, а процедура переходу від функції Гамільтона до гамільтоніану називається процедурою квантування.
Гамільтоніан є головним оператором в квантовій механіці, оскільки входить в головне рівняння квантової механіки - рівняння Шредінгера.
механічний осцилятор
У разі класичного механічного осцилятора (без тертя) функція Гамільтона має наступний вигляд:



де k - коефіцієнт пружності, а m - маса частинки.
Перше диференціальне рівняння, яке дорівнює

,

з якого отримуємо вираз для імпульсу:



.

Друге диференціальне рівняння Гамільтона має вигляд:

,

звідки рівняння руху:



або в стандартній формі:

.

Можна також привести значення "дії" на проміжку одного періоду коливань:



де a - амплітуда коливань, циклічна частота, а T = 2? /? - період.
електричний осцилятор
для класичного L C - контуру функція Гамільтона має вигляд:



де "Магнітний імпульс" (фактично - магнітний потік).
Можна також привести значення "дії" на проміжку одного періоду коливань:



де q 0 - амплітудне значення заряду, період коливань.
механіка Лагранжа
Рівняння Гамільтона-Якобі
дужки Пуассона

Увага, тільки СЬОГОДНІ!