Математична фізика

Відео: Курс лекцій: Методи математичної фізики. Професор фізичного факультету МДУ Боголюбов Олександр Миколайович

математична фізика - загальна назва математичних методів дослідження і рішення диференціальних рівнянь фізики. Теорія математичних моделей фізичних явищ- займає особливе становище і в математиці, і у фізиці, перебуваючи на стику цих наук. Математична фізика тісно пов`язана з фізикою в тій частині, яка стосується побудови математичної моделі, і в той же час математична фізика - розділ математики, оскільки методи дослідження моделей є математичними. У поняття інформаційних технологій включаються ті математичні методи, які застосовуються для побудови і вивчення математичних моделей, що описують великі класи фізичних явищ.
Методи математичної фізики як теорії математичних моделей фізики почали в кін. XVII ст. інтенсивно розроблятися в працях І. Ньютона по створенню основ класичної механіки, всесвітнього тяжіння, теорії світла. Подальший розвиток (XVIII - I-я половина XIX століття) інформаційних технологій і їх успішне застосування до вивчення математичних моделей величезного обсягу різних фізичних явищ пов`язані з іменами Ж. Лагранжа, Л. Ейлера, П. Лапласа, Ж. Фур`є Ті, К. Гаусса, Б. Рімана, М. В. Остроградського та ін. вчених. Великий внесок у розвиток інформаційних технологій внесли А. М. Ляпунов і В. А. Стєклов. З II-й пол. XIX ст. методи математичної фізики успішно використовувалися для вивчення математичних моделей фізичних явищ, пов`язаних з різними фізичними полями і хвильовими функціями в електродинаміці, акустиці, теорії пружності, гідро- та аеродинаміки та інших напрямах дослідження фізичних явищ в суцільних середовищах. Математичні моделі цього класу явищ найбільше часто описуються за допомогою диференціальних рівнянь з приватними похідними, що одержали назву рівняння математичної фізики. Крім диференціальних рівнянь математичної фізики, при описі математичних моделей фізики застосовуються інтегральні рівняння і інтегро-диференціальні рівняння, варіаційні та теоретико-імовірнісні методи, теорія потенціалу, методи теорії функцій комплексного змінного і ряд інших розділів математики. У зв`язку з бурхливим розвитком обчислювальної математики особливе значення для дослідження, математичних моделей фізики набувають прямі чисельні методи, вони використовують комп`ютери, і в першу чергу звичайно-різницеві методи розв`язування крайових задач, що дозволило методами математичної фізики ефективно вирішувати нові завдання газової динаміки, теорії переносу , фізики плазми, в тому числі і зворотні задачі цих напрямків фізичних досліджень.
Теоретичні дослідження в галузі квантової фізики і теорії відносності, широке застосування комп`ютерів в різних областях математичної фізики, включаючи і зворотні (некоректно поставлені) задачі, викликали значне розширення використовуваного математичною фізикою арсеналу математичних методів. Поряд з традиційними розділами математики стали широко застосовуватися теорія операторів, теорія узагальнених функцій, теорія функцій багатьох комплексних змінних, топологічні і алгебраїчні методи. Це інтенсивна взаємодія теоретичної фізики, математики та використання комп`ютерів в наукових дослідженнях призвело до значного розширення тематики, створення нових класів моделей і підняло на новий рівень сучасну математичну фізику.
Постановка задач математичної фізики полягає в побудові математичних моделей, що описують основні закономірності досліджуваного класу фізичних явищ. Така постановка полягає у виведенні рівнянь (диференціальних, інтегральних, інтегро-диференціальних або алгебраїчних), яким задовольняють величини, що характеризують фізичний процес. При цьому виходять з основних фізичних законів, що враховують тільки найбільш істотні риси явища, відволікаючись від ряду його другорядних характеристик. Такими законами є зазвичай закони збереження, наприклад кількості руху, енергії, числа частинок. Це призводить до того, що для опису процесів різної фізичної природи, але мають спільні характерні риси, виявляється можна застосувати ті ж математичні моделі. Наприклад, математичні задачі для найпростішого рівняння гіперболічного типу

,



отриманого Ж. Д`Аламбером (1747) для опису вільних коливань однорідної струни, виявляються придатними і для опису широкого кола хвильових процесів акустики, гідродинаміки, електродинаміки та ін. областей фізики. Аналогічно, рівняння

,



крайові задачі для якого спочатку вивчалися П. Лапласом (кін. XVIII ст) в зв`язку з побудовою теорії тяжіння, надалі знайшло застосування при вирішенні багатьох проблем електростатики, теорії пружності, задач сталого руху ідеальної рідини і т.п. Кожній математичної моделі фізики відповідає цілий клас фізичних процесів.
Для математичної фізики характерно також те, що багато загальні методи, які можна використовувати для розв`язання задач математичної фізики, розвинулися з приватних способів вирішення конкретних фізичних задач і у своєму первісному вигляді не мали строгого математичного обґрунтування і достатньої завершеності. Це відноситься до таких відомих методів розв`язування задач математичної фізики, як методи Рітца і Гальоркіна, до методів теорії збурень, перетворень Фур`є і багатьом іншим, включаючи метод розділення змінних. Ефективне застосування всіх цих методів для вирішення конкретних завдань стало одним із стимулів для їх строгого математичного обґрунтування і узагальнення, що призводить в деяких випадках до виникнення нових математичних напрямів.
Вплив математичної фізики на різні розділи математики виявляється і в тому, що розвиток математичної фізики, що відбиває вимоги природничих наук і запити практики, спричиняє переорієнтацію спрямованості досліджень в деяких вже сформованих розділах математики. Постановка задач математичної фізики, пов`язана з розробкою математичних моделей реальних фізичних явищ, призвела до зміни основної проблематики теорії диференціальних рівнянь в приватних похідних. Виникла теорія крайових задач, що дозволила згодом зв`язати диференціальні рівняння в приватних похідних, з інтегральними рівняннями і варіаційними методами.
Вивчення математичних моделей фізики математичними методами не тільки дозволяє отримати кількісні характеристики фізичних явищ і розрахувати із заданим ступенем точності хід реальних процесів, а й дає можливість глибокого проникнення в саму суть фізичних явищ, виявлення прихованих закономірностей, передбачення нових ефектів. Прагнення до більш детального вивчення фізичних явищ призводить до все більшого ускладнення математичних моделей, що описують ці явища, в свою чергу унеможливлює застосування аналітичних методів дослідження цих моделей. Це пояснюється ще і тим, що математичні моделі реальних фізичних процесів є, як правило, нелінійними, тобто описуються нелінійними рівняннями математичної фізики Для детального дослідження таких моделей успішно застосовуються прямі чисельні методи з використанням комп`ютерів. Для типових задач математичної фізики використання чисельних методів зводиться до заміни рівнянь математичної фізики для функцій неперервного аргументу алгебраїчними рівняннями для сіткових функцій, заданих на дискретній множині точок (на сітці). Іншими словами, замість неперервної моделі середовища вводиться її дискретний аналог. Застосування чисельних методів у ряді випадків дозволяє замінити складний, трудомісткий і вартісний фізичний експеримент значно економічнішим математичним (чисельним) експериментом. Досить повно проведений математичний експеримент є основою для вибору оптимальних умов реального фізичного експерименту, вибору параметрів складних фізичних установок, визначення умов виявлення нових фізичних ефектів і т.д. Таким чином чисельні методи надзвичайно розширюють область ефективного використання математичних моделей фізичних явищ. Математична модель фізичного явища, як будь-яка модель, не може передати всіх рис явища. Встановити адекватність прийнятої моделі досліджуваному явищу можна тільки за допомогою критерію практики, зіставляючи результати теоретичних досліджень прийнятої моделі з даними експериментів.
У багатьох випадках про адекватність прийнятої моделі можна судити на підставі розв`язування обернених задач математичної фізики, коли про властивості досліджуваних явищ природи, недоступних для безпосереднього спостереження, робляться висновки за результатами їх непрямих фізичних проявів. Для математичної фізики характерно прагнення будувати такі математичні моделі, які не тільки дають опис і пояснення вже встановлених фізичних закономірностей досліджуваного кола явищ, а й дозволяють передбачити ще не встановлені закономірності. Класичним прикладом такої моделі є теорія всесвітнього тяжіння Ньютона, що дозволила не лише пояснити рух відомих до моменту її створення тіл Сонячної системи, але і передбачити існування нових планет. Крім того, нові експериментальні дані не завжди можуть бути пояснені в рамках прийнятої моделі. Для їх пояснення потрібне ускладнення моделі.

Увага, тільки СЬОГОДНІ!