Математичний аналіз

Відео: Математичний аналіз

Математичний аналіз - сукупність розділів математики, що спираються на поняття функції і на ідеї обчислення нескінченно малих. Важко логічно провести межу між математичним аналізом і іншими розділами математики: за історичною традицією під назвою «математичний аналіз» об`єднуються диференціальне та інтегральне числення, основи теорії функцій і диференціальних рівнянь і ряд інших розділів математики, що виникли в систематичній формі в результаті робіт математиків XVII-XVIII століття. Природним продовженням класичного математичного аналізу є функціональний аналіз, в який входять як спеціальні розділи варіаційне числення та теорія інтегральних рівнянь, що виникли раніше загального функціонального аналізу. Як розділ математики, математичний аналіз оформився в кінці XVII століття, але його апарат постійно вдосконалюється і розвивається.
В історії математики можна умовно виділити два основних періоди: елементарної і сучасної математики. Рисою, від якої ведеться відлік епохи нової (іноді - вищої) математики, стало XVII століття. Саме в XVII столітті з`явився математичний аналіз. До кінця XVII в. Ісааком Ньютоном, Готфрідом Лейбніцем і їх попередниками був створений апарат диференціального й інтегрального числення, становить основу математичного аналізу і навіть математичну основу всього сучасного природознавства.
Рух, змінні і їх взаємозв`язок оточують нас всюди. Різні види руху, їх закономірності становлять основний об`єкт вивчення конкретних наук: фізики, геології, біології, соціології і т.д. Точна мову і відповідні математичні методи опису і вивчення таких величин виявилися необхідними в усіх областях знань приблизно як числа і арифметика необхідні для опису кількісних співвідношень. Тому математичний аналіз став основою мови і математичних методів опису змінних і зв`язків між ними. В наші дні без математичного аналізу неможливо було б не тільки розрахувати космічні траєкторії, роботу ядерних реакторів, закономірності розвитку циклону, а й ефективно управляти виробництвом, розподілом ресурсів, організацією технологічних процесів, бо все це - динамічні процеси.
Елементарна математика була переважно математикою постійних величин, вона вивчала головним чином співвідношення між елементами геометричних фігур, арифметичні властивості чисел і алгебраїчні рівняння.


Причини виникнення математичного аналізу
До кінця XVII в. склалася ситуація коли в математиці було накопичено знання про розв`язки деяких важливих класів задач (наприклад, завдання про обчислення площ і обсягів нестандартних фігур, завдання проведення дотичних до кривих), а також з`явилися методи вирішення різних приватних випадків. Виявилося, що ці завдання тісно пов`язані з завданнями опису деякого (не обов`язково рівномірного) механічного руху, і зокрема обчислення його миттєвих характеристик (швидкості, прискорення в будь-який момент часу), а також знаходження пройденого шляху при русі, відбувається із заданою змінною швидкістю. Вирішення цих завдань був необхідний для подальшого розвитку фізики, астрономії, техніки. До середини XVII ст. в працях Декарта і П`єра Ферма були закладені основи аналітичного методу координат (так званої аналітичної геометрії), які дозволили сформулювати різні за своїм походженням геометричні і фізичні завдання спільною мовою чисел і числових залежностей (числових функцій).
Всі ці обставини призвели до того, що в кінці XVII ст. двом вченим Ісааку Ньютону і Готфрід Лейбніц, незалежно один від одного, вдалося створити математичний апарат для вирішення зазначених завдань. У своїх роботах ці вчені зібрали й узагальнили окремі результати попередників починаючи від Архімеда і закінчуючи своїми сучасниками, такими як: Кавальєрі, Блез Паскаль, Девід Грегорі, Ісаак Барроу. Цей апарат і склав основу математичного аналізу - новий розділ математики, що вивчає різні динамічні процеси, тобто взаємозв`язку змінних величин, які математики називають функціональними залежностями або функціями.


Віхи розвитку математичного аналізу
Поняття функції ввів в XVIII в. Леонард Ейлер. Аналіз функцій дійсної змінної почав набирати ознак окремого розділу математики, коли Бернард Больцано дав сучасне визначення безперервності в 1816, хоча роботи Больцано не отримали широкої популярності в 1870-их. З 1821 Огюстен Коші почав формувати міцне логічне підгрунтя під математичним аналізом, формулючи його через поняття нескінченно малих. Йому також належать поняття фундаментальної послідовності і основи аналізу комплесного змінної. Симеон Пуассона, Жозеф Лиувилль, Жозеф Фур`є та інші вивчали диференціальні рівняння і гармонійний аналіз. Завдяки внеску цих та інших математиків, таких як Карл Вейерштрасс розвинувся Епсілон підхід, який є основою сучасного математичного аналізу. Зразком такого підходу є визначення границі функції через та.
Усередині XIX століття Бернгард Ріман розвинув теорію інтегрування. Надалі матіматіків початок бентежити те, що вони припускають існування континууму дійсних чіслел без докази. Вирішуючи цю проблему, Ріхард Дедекинд, Юліус Вільгельм сконструював визначення ірраціонального числа як перетин дедекіндових, таким чином заповнивши «прогалини» в раціональних числах і утоворівши повний метричний простір: континуум дійсних чисел. Приблизно тоді ж спроби уточнити теореми інтегрування за Ріманом привели до вивчення розривів дійсних функцій.
Почали виникати математичні чудовиська, такі як ніде не безперервна функція Дирихле, безперервна, але ніде не диференційована функція Вейєрштрасса, криві, повністю заповнюють площину начебто кривої Пеано. Вирішуючи проблеми з такими функціями, Каміль Жордан побудував теорію заходи Жордана, а Георг Кантор розвинув інтуїтивну теорію множин. На початку 20 століття математичний аналіз був формалізований теорією множин. Анрі Лебег вирішив проблему заходи, а Давид Гільберт ввів гільбертовому просторі. Виникла ідея нормованого векторного простору, і в 1920-х Стефан Банах почав функціональний аналіз.

Увага, тільки СЬОГОДНІ!