Диференційне рівняння

Відео: 18+ Математика без Ху%! Ні. Диференційне рівняння

Візуалізація повітряного потоку з рівняння Нав`є-Стокса Ісаак Ньютон Готфрід Лейбніц Диференційне рівняння - розділ математики, що вивчає теорію і способи розв`язання рівнянь, що містять шукану функцію та її похідні різних порядків одного аргументу (звичайні диференціальні) або декількох аргументів (диференціальні рівняння в приватних похідних). Диференціальні рівняння широко використовуються на практиці, зокрема для опису перехідних процесів.
Теорія диференціальних рівнянь - розділ математики, що займається вивченням диференціальних рівнянь і пов`язаних з ними завдань. Їх результати застосовуються в багатьох природничих науках, особливо широко - у фізиці.
Простіше кажучи, диференціальне рівняння - це рівняння, в якому невідомою величиною є деяка функція. При цьому, в самому рівнянні бере участь не тільки невідома функція, але і різні її похідні. Диференціальним рівнянням описується зв`язок між невідомою функцією і її похідними. Такі зв`язку відшукуються в різних областях знань: в механіці, фізиці, хімії, біології, економіці та ін.
Розрізняють звичайні диференціальні рівняння і диференціальні рівняння в приватних похідних. Більш складними є інтегро-диференціальні рівняння.
Спочатку диференціальні рівняння виникли із завдань механіки, в яких брали участь координати тіл, їх швидкості і прискорення, що розглядаються як функції від часу.
диференціальне рівняння називається интегрируемой в квадратурі, якщо завдання знаходження всіх рішень зв`язків можна звести до обчислення кінцевого числа інтегралів від відомих функцій і простих алгебраїчних операцій.
Леонард Ейлер Лагранж П`єр-Симон Лаплас Жозеф Лиувилль Анрі Пуанкаре Диференціальні рівняння винайдені Ньютоном (1642-1727). Ньютон вважав цей свій винахід настільки важливим, що зашифрував його у вигляді анаграми, сенс якої в сучасних термінах можна вільно передати так: «закони природи виражаються диференціальними рівняннями».
Основним аналітичним досягненням Ньютона було розкладання всіляких функцій в ступені ряди (сенс другий, довгою анаграми Ньютона в тому, що для вирішення будь-якого рівняння слід підставити в рівняння ряд і прирівняти члени однакового ступеня). Особливе значення мала тут відкрита ним формула бінома Ньютона (зрозуміло, не тільки з цілими показниками, для яких формулу знав, наприклад, Вієт (1540-1603), але і, що особливо важливо, з дробовими і негативними показниками). Ньютон розклав в «ряди Тейлора» всі основні елементарні функції (раціональні, радикали, тригонометричні, експоненту і логарифм). Це разом з укладеної ним таблиці початкових яка перейшла в майже незмінному вигляді в сучасні підручники аналізу), дозволяло йому, за його словами, порівнювати площі будь-яких фігур «за половину чверті години».
Ньютон вказував, що коефіцієнти його рядів пропорційні послідовним похідним функції, але не зупинявся на цьому детально, оскільки він справедливо вважав, що всі обчислення в аналізі зручніше проводити не за допомогою кратних диференціювань, а шляхом обчислення перших членів ряду. Для Ньютона зв`язок між коефіцієнтами ряду і похідними був скоріше засобом обчислення похідних, ніж засобом складання ряду. Одним з найважливіших досягнень Ньютона є його теорія сонячної системи, викладена в «Математичних принципах натуральної філософії» ( «Principia») без допомоги математичного аналізу. Зазвичай вважають, що Ньютон відкрив за допомогою свого аналізу закон всесвітнього тяжіння. Насправді Ньютону (1680) належить лише доказ еліптичності орбіт в полі тяжіння за законом зворотних квадратів: сам цей закон був вказаний Ньютону Гуком (1635-1703) і, мабуть, вгадувався ще декількома вченими.
З величезного числа робіт XVIII століття з диференціальних рівнянь виділяються роботи Ейлера (1707-1783) і Лагранжа (1736-1813). У цих роботах була перш розвинена теорія малих коливань, а отже - теорія лінійних систем диференціальних уравненій- попутно виникли основні поняття лінійної алгебри (власні числа і вектори в n-вимірному випадку). Характеристичне рівняння лінійного оператора довго називали секулярним, оскільки саме з такого рівняння визначаються секулярні (вікові, тобто повільні в порівнянні з річним рухом) збудження планетних орбіт відповідно до теорії малих коливань Лагранжа. Слідом за Ньютоном Лаплас і Лагранж, а пізніше Гаус (1777-1855) розвивають також методи теорії збуджень.
Коли була доведена нерозв`язність алгебраїчних рівнянь в радикалах, Жозеф Лиувилль (1809-1882) побудував аналогічну теорію для диференціальних рівнянь, встановивши неможливість вирішення ряду рівнянь (зокрема таких класичних, як лінійні рівняння другого порядку) в елементарних функціях і квадратурі. Пізніше Софус Лі (1842-1899), аналізуючи питання про інтегрування рівнянь в квадратурі, прийшов до необхідності детально досліджувати групи дифеоморфізмів (що отримали згодом ім`я груп Лі) - так по теорії диференціальних рівнянь виникла одна з найбільш плідних областей сучасної математики, подальший розвиток якої був тісно пов`язаний зовсім з іншими питаннями (алгебри Лі ще раніше розглядали Симеон Дені Пуассон (1781-1840) і особливо Карл Густав Якоб Якобі (1804-1851)).
Новий етап розвитку теорії диференціальних рівнянь починається з робіт Анрі Пуанкаре (1854-1912), створена ним «якісна теорія диференціальних рівнянь» разом з теорією функцій комплексних змінних привела до заснування сучасної топології. Якісна теорія диференціальних рівнянь, або, як тепер її частіше називають, теорія динамічних систем, зараз розвивається найбільш активно і має найбільш важливі застосування теорії диференціальних рівнянь в природознавстві.





Звичайні диференціальні рівняння - це рівняння виду F (t, x, x `, x ``, ..., x (n)) = 0, де x = x (t) - невідома функція (можливо, вектор-функція-в такому випадку часто говорять про систему диференціальних рівнянь), що залежить від змінної часу t, штрих означає диференціювання по t. число n називається порядком диференціального рівняння.
Рішенням (або рішенням) диференціального рівняння називається функція, диференціюється n раз, і задовольняє рівняння в усіх точках своєї області визначення. Зазвичай існує ціла безліч таких функцій, і для вибору однієї з розв`язок потрібно накласти на неї додаткові умови: наприклад, вимагати, щоб рішення приймав в певній точці певне значення.
Основні завдання та результати теорії диференціальних рівнянь: існування і єдиність вирішення різних завдань для ОДУ, методи роз`язання простих ОДУ, якісне дослідження рішень ОДУ без знаходження їх явного виду.
Диференціальні рівняння в приватних похідних - це рівняння, що містять невідомі функції від декількох змінних і їх приватних похідних.
Загальний вигляд таких рівнянь можна представити у вигляді:

,

де - незалежні змінні, а - функція цих змінних.





Нелінійні диференціальні рівняння - розділ математики, що вивчає теорію і способи вирішення нелінійних рівнянь, що містять шукану функцію та її похідні різних порядків одного аргументу (звичайні нелінійні диференціальні) або декількох аргументів (нелінійні диференціальні рівняння в приватних похідних). Диференціальні рівняння широко використовуються на практиці, зокрема для опису перехідних процесів.
Теорія нелінійних диференціальних рівнянь - розділ математики, що займається вивченням диференціальних рівнянь і пов`язаних з ними завдань. Їх результати застосовуються в багатьох природничих науках: механіці, фізиці, термопружності, оптиці.
Нелінійне диференціальне рівняння - це рівняння, в якому невідомою величиною є деяка функція. У самому диференціальному рівнянні бере участь не тільки невідома функція, але і різні її похідні в нелінійному вигляді. Нелінійним диференціальним рівнянням описується зв`язок між невідомою функцією і її похідними. Такі зв`язку відшукуються в різних областях знань: в механіці, фізиці, хімії, біології, економіці та ін.
Розрізняють звичайні нелінійні диференціальні рівняння і нелінійних диференціальних рівнянь в приватних похідних.
Нелінійні диференціальні рівняння виникли із завдань нелінійної механіки, в яких брали участь координати тіл, їх швидкості і прискорення, що розглядаються як функції від часу.

,

де m - маса тіла, x - його координата, F (x, t) - сила, що діє на тіло з координатою x в момент часу t. Його рішенням є траєкторія руху тіла під дією зазначеної сили.

,

де u = u (x, t) - відхилення струни в точці з координатою x в момент часу t, параметр a задає властивості струни.

Увага, тільки СЬОГОДНІ!