Математична логіка

Відео: Лекція 1 | Математична логіка і культура математичних міркувань

математична логіка є наукою про закони математичного мислення. Предметом математичної логіки є математичні теорії в цілому, які вивчаються за допомогою логіко-математичних мов. При цьому в першу чергу цікавляться питаннями несуперечливості математичних теорій, їх можливості розв`язання і повноти.
Математична логіка по суті є формальною логікою, що використовує математичні методи. Формальна логіка вивчає акти мислення (поняття, судження, умовиводи, докази) з точки зору їх форми, логічної структури, абстрагуючись від конкретного змісту. Творцем формальної логіки є Арістотель, а першу завершену систему математичної логіки на базі строгої логіко-математичної мови - алгебру логіки, - запропонував Джордж Буль (1815-1864). Логіко-математичні мови і теорія їх сенсу розвинені в роботах Готлоб Фреге (1848-1925), який ввів поняття сутності і кванторів. Це дозволило застосувати логіко-математичні мови до питань основ математики. Виклад цілих розділів математики на мові математичної логіки і аксиоматизации арифметики зроблені Джузеппе Пеано (1858-1932). Грандіозна спроба Г. Фреге і Бертран Рассел (1872-1970) зведення всієї математики до логіки не досягнула основної мети, але привела до створення багатого логічного апарату, без якого оформлення математичної логіки як повноцінного розділу математики було б неможливо.




На рубежі 19 століття-20 ст. були відкриті парадокси, пов`язані з основними поняттями теорії множин (найбільш відомими є парадокси Георг Кантор і Б. Рассела). Для виходу з кризи Л. Брауер (1881-1966) висунув інтуіціоністську програму, в якій запропонував відмовитися від актуальної нескінченності і логічного закону виключеного третього, вважаючи допустимими в математиці тільки конструктивні докази. Інший шлях запропонував Давид Гільберт (1862-1943), який в 20-х роках 20 ст. виступив з програмою обгрунтування математики на базі математичної логіки. Програма Гільберта передбачала побудову формально-аксіоматичних моделей (формальних систем) основних розділів математики і подальше доведення їх несуперечності надійними фінітними засобами. Несуперечливість означає неможливість одночасного виведення деякого твердження і його заперечення. Таким чином, математична теорія, несуперечливість якої хочемо довести, стає предметом вивчення певної математичної науки, яку Давид Гільберт назвав метаматематики, або теорією доказів. Саме з розробки Д. Гильбертом і його учнями теорії доказів на базі розвиненої в роботах Готлоб Фреге і Бертран Рассела логічної мови починається становлення математичної логіки як самостійної математичної дисципліни.
Сфера застосування математичної логіки дуже широка. З кожним роком зростає глибоке проникнення ідей і методів математичної логіки в інформатику, обчислювальну математику, лінгвістику, філософію. Потужним імпульсом для розвитку і розширення області застосування математичної логіки стала поява електронно-обчислювальних машин. Виявилося, що в рамках математичної логіки вже є готовий апарат для проектування обчислювальної техніки. Методи і поняття математичної логіки є основою, ядром інтелектуальних інформаційних систем. Засоби математичної логіки стали ефективним робочим інструментом для фахівців багатьох галузей науки і техніки.

Увага, тільки СЬОГОДНІ!