Теорія множин

Відео: Дискретна математика

теорія множин - розділ математики, в якому вивчаються загальні властивості множин. Теорія множин лежить в основі більшості математичних дісціплін- вона вплинула на розуміння предмета самої математики.
Георг Кантор (1845 - † 1918), засновник теорії множин До другої половини 19 століття поняття «безлічі» не розглядалося як математичне ( «безліч книг на полиці», «безліч людських чеснот» і т. Д. - все це чисто побутові обороти) . Положення змінилося, коли німецький математик Георг Кантор розробив свою програму стандартизації математики, в рамках якої будь-який математичний об`єкт повинен був бути тим чи іншим «безліччю». Наприклад, натуральне число за Кантором слід розглядати як безліч, що складається з єдиного елемента іншої множини, званого «натуральним поруч», який, в свою чергу, сам є безліч, що задовольняє так званим аксіомам Пеано. При цьому загальному поняттю «безлічі», який розглядався їм як центрального для математики, Кантор давав вельми розмиті визначення, на кшталт «безліч є багато, мислиме як єдине», і т. Д. Це цілком відповідало умонастрою самого Кантора, що підкреслено називав свою програму не "теорією множин» (цей термін з`явився значно пізніше), а «вченням про множини» (Mengenlehre).
Програма Кантора викликала різкі протести з боку багатьох сучасних йому відомих математиків. Особливо виділявся своїм непримиренним ставленням до неї Леопольд Кронекера, який вважав, що математичними об`єктами можуть вважатися лише натуральні числа і те, що до них безпосередньо зводиться (відома його фраза про те, що «бог створив натуральні числа, а все інше - справа рук людських »). Однак, деякі інші математики - зокрема, Готлоб Фреге і Давид Гільберт - підтримали Кантора в його намірі перевести всю математику на теоретико-множинний мову.
Однак незабаром з`ясувалося, що напрямок Кантора на необмежену сваволю при оперуванні з множинами (висловлену ним самим в принципі «сутність математики полягає в її свободі») недосконала спочатку, а саме, було виявлено ряд теоретико-множинних антиномій: виявилося, що при використанні теоретико множинних уявлень деякі твердження можуть бути доведені разом зі своїми запереченнями (а тоді, згідно з правилами класичної логіки висловлювань, може бути «доведено» абсолютно будь-яке твердження). Антиномії ознаменували собою повний провал програми Кантора.


На початку 20 століття Бертран Рассел, вивчаючи наївну теорію множин, прийшов до парадоксу (з тих пір відомому як парадокс Рассела). Таким чином було продемонстровано суперечливість наївної теорії множин і пов`язаної з нею канторовской програми стандартизації математики.
Після виявлення антиномії Рассела частина математиків (наприклад, Л. Е. Я. Брауер і його школа) вирішила повністю відмовитися від використання теоретико-множинних уявлень. Інша ж частина математиків, очолена Д. Гильбертом, зробила ряд спроб обґрунтувати ту частину теоретико-множинних уявлень, яка здавалася їм найбільш відповідальною за виникнення антиномій, на основі свідомо надійної финитной математики. З цією метою були розроблені різні аксиоматизации теорії множин.
Особливістю аксіоматичного підходу є відмова від закладеного в програму Кантора уявлення про дійсне існування множин в деякому ідеальному світі. В рамках аксіоматичних теорій безлічі «існують» виключно формальним чином, і їх «властивості» можуть істотно залежати від вибору аксіоматики. Цей факт завжди був мішенню для критики з боку тих математиків, які не погоджувалися (як на тому наполягав Гільберт) визнати математику позбавленою будь-якого змісту грою в символи. Зокрема, Н. Н. Лузін писав, що «потужність континууму, якщо тільки мислити його як безліч точок є якась єдина реальність», місце якої в ряду кардинальних чисел не може залежати від того, визнається як аксіома континуум-гіпотеза, або його заперечення .


Зараз найбільш поширеною аксіоматичної теорією множин є ZFC - теорія Цермело - Френкеля з аксіомою вибору. Питання про несуперечності цієї теорії (а тим більше - про існування моделі для неї) залишається невирішеним.
В основі теорії множин лежать первинні поняття: безліч і ставлення бути елементом безлічі (позначається як - «x є елемент множини A»). Серед похідних понять найбільш важливими є наступні:
Над множинами визначені наступні операції:
Для множин визначені наступні бінарні відносини:

Увага, тільки СЬОГОДНІ!