Аксіоматичний метод

Відео: Беклемишев Лев - Аксіоматичний метод

аксіоматичний метод - спосіб побудови наукової теорії, при якому в основу теорії кладуться деякі вихідні положення, які називають аксіомами теорії, а всі інші положення теорії випливають як логічні наслідки аксіом. Більшість напрямків сучасної математики, теоретична механіка, ряд розділів фізики побудовані на основі аксіоматичного методу. В математиці аксіоматичний метод дає можливість створення закінчених, логічнозавершініх наукових теорій. Не менше значення має і те, що математична теорія, побудована аксіоматично, часто знаходить застосування в інших науках.
В математиці аксіоматичний метод зародився в роботах давньогрецьких геометрів. Блискучим зразком його застосування аж до XIX ст. була геометрична система, відома під назвою «Начала» Евкліда (бл. 300 до н.е.). Хоча в той час не стояв ще питання про опис логічних засобів, що застосовуються для отримання змістовних наслідків з аксіом, в системі Евкліда вже досить чітко простежується ідея отримання всього основного змісту геометричній теорії чисто дедуктивним шляхом, з певного, відносно невеликого, числа тверджень - аксіом, істинність яких представлялася наочно очевидною.
Відкриття на початку XIX ст. неевклідової геометрії Н. І. Лобачевским і Я. Бойяи стало поштовхом до подальшого розвитку аксіоматичного методу. Вони встановили, що, замінивши звичний і, здавалося б, єдино «об`єктивно істинний» V постулат Евкліда про паралельних прямих його запереченням, можна розвивати чисто логічним шляхом геометричну теорію, настільки ж струнку і багату змістом, як і геометрія Евкліда. Цей факт змусив математиків XIX в. звернути особливу увагу на дедуктивний метод побудови математичних теорій, що призвело до виникнення пов`язаної з самим поняттям аксіоматичного методу і формальної (аксіоматичної) математичної теорії нової проблематики, на основі якої виросла так звана теорія доказів як основний розділ сучасної математичної логіки.
Розуміння необхідності обгрунтування математики і конкретні завдання в цій галузі зародилися в більш-менш виразною формі вже в XIX в. Уточнення основних понять аналізу і відомості складних понять до найпростішого на точної і логічно все більш міцній основі, а також відкриття неевклідових геометрій стимулювали розвиток аксіоматичного методу і виникнення проблем загального математичного характеру, таких, як несуперечливість, повнота і незалежність тієї чи системи аксіом.
Перші результати в цій області приніс метод інтерпретацій, який може бути описаний таким чином. Нехай кожному вихідному поняттю і співвідношенню даної аксіоматичної теорії Т поставлений у відповідність певний конкретний математичний об`єкт. Сукупність таких об`єктів називається полем інтерпретації. всякому твердженню U теорії Т природним чином ставиться у відповідність певне висловлювання U * про елементи поля інтерпретації, яке може бути істинним або хибним. Тоді кажуть, що твердження U теорії Т Відповідно істинне або помилкове в даній інтерпретації. Поле інтерпретації та його властивості зазвичай самі є об`єктом розгляду певної математичної теорії T 1, яка, зокрема, може бути теж аксіоматичній.
Метод інтерпретацій дозволяє встановлювати факт відносної несуперечливості, тобто довести затвердження типу: «якщо теорія T 1 несуперечлива, то несуперечлива і теорія Т ». нехай теорія Т проінтерпретовані в теорії T 1 таким чином, що всі аксіоми А та теорії Т інтерпретуються істинними твердженнями А та * теорії Т 1. Тоді будь-яка теорема теорії Т, тобто будь-яке твердження А, логічно виведено з аксіом А та в Т, інтерпретується в T 1 певним твердженням А *, яке можна вивести в Т з інтерпретацій А * і аксіом А та, і отже істинним. Останнє твердження спирається на ще одне припущення, що робиться неявно нами, певної подібності логічних засобів, що застосовуються в теоріях Т і Т 1. Практично ця умова зазвичай виконується. Нехай тепер теорія Т суперечлива, то є якесь твердження А цієї теорії виведено в ній разом зі своїм запереченням. Тоді з вищесказаного випливає, що твердження А * і «не А * » будуть одночасно істинними твердженнями теорії Т 1, тобто теорія Т 1 суперечлива. Цим методом була, наприклад, доведено (Ф. Клейн, А. Пуанкаре) несуперечливість неевклідової геометрії Лобачевського в припущенні, що несуперечлива геометрія Евкліда, а питання про несуперечливість Гільбертів Аксіоматизації геометрії Евкліда був зведений (Д. Гільберт) до проблеми несуперечності арифметики.


Метод інтерпретацій дозволяє також вирішувати питання про незалежність систем аксіом: для доказу того, що аксіома А теорії Т НЕ виводимо з інших аксіом цієї теорії і, отже, істотно необхідна для отримання всього обсягу даної теорії, досить побудувати таку інтерпретацію теорії Т, в якій аксіома А була б помилковою, а всі інші аксіоми цієї теорії істинні. Вищезазначене зведення проблеми несуперечності геометрії Лобачевського до проблеми несуперечності геометрії Евкліда, а цієї останньої - до питання про несуперечливість арифметики має своїм наслідком твердження, що V постулат Евкліда виводимо з інших аксіом геометрії, якщо тільки несуперечливої є арифметика натуральних чисел.
Слабка сторона методу інтерпретацій полягає в тому, що в питаннях несуперечливості та незалежності систем аксіом він дає можливість отримувати тільки результати, носять відносний характер. Важливим досягненням цього методу став той факт, що з його допомогою було виявлено особлива роль арифметики як такої математичної теорії, до питання про несуперечності якої зводиться аналогічне питання для цілого ряду інших теорій.
Подальший розвиток - в даному разі це була вершина - аксіоматичний метод отримав в роботах Д. Гільберта і його школи. В рамках цього напрямку було вироблено подальше уточнення поняття аксіоматичної теорії, а саме поняття формальної системи. В результаті цього уточнення виявилося можливим представляти самі математичні теорії як точні математичні об`єкти і будувати загальну теорію, або метатеорію, таких теорій. При цьому привабливою представлялася перспектива (і Д. Гільберт був свого часу нею захоплений) вирішити на цьому шляху всі головні питання обгрунтування математики. Будь-яка формальна система будується як точно окреслене клас виразів формул, в якому певним точним чином виділяється підклас формул, називають теоремами даної формальної системи. При цьому формули формальної системи самі не несуть в собі ніякого смислового змісту, їх можна будувати по довільним знаків або елементарних символів, керуючись тільки міркуваннями технічної зручності. Насправді спосіб побудови формул і поняття теореми тієї чи формальної системи вибираються з таким розрахунком, щоб весь цей формальний апарат можна було застосовувати для якомога більш адекватного і повного вираження тієї чи конкретної математичної (або не математичної) теорії, точніше, як її фактичного змісту, так і її дедуктивної структури. Будь-яку конкретну математичну теорію Т можна перевести на мову придатною формальної системи S таким чином, що кожне осмислене (помилкове або істинне) вираження теорії Т виражається відомою формулою системи S.
Природно очікувати, що метод формалізації дозволить будувати весь позитивний сенс математичних теорій на такий точної і, здавалося б, надійній основі, як поняття виведеної формули (теореми формальної системи), а принципові питання типу проблеми несуперечності математичних теорій вирішувати формі доказів відповідних тверджень формальних систем, які формалізують ці теорії. Щоб отримати докази тверджень про несуперечливість, що не залежать від тих потужних засобів, які в класичних математичних теоріях раз і є причиною ускладнень їх обґрунтування, Д. Гільберт пропонував досліджувати формальні системи т.зв. фінітними методами (див. метаматематики).
Однак результати К. Геделя початку 30-х р XX в. привели до краху основних надій, що зв`язувалися з цією програмою. К. Гедель показав наступне.


1) Будь-яка природна, несуперечлива формалізація S арифметики або будь-який інший математичної теорії, що містить арифметику (напр., теорії множин), неповна і непоповнювані в тому сенсі, що: а) в S утримуються (змістовно істинні нерозв`язні формули, є такі формули А, ні А, ні заперечення А НЕ виводу в S (Неповнота формалізованої арифметики), б) якою б кінцевим безліччю додаткових аксіом (напр., Нерозв`язними в S формулами) розширювати систему S, в новій, посиленій таким чином формальної системі неминуче з`являться свої нерозв`язні формули (непоповнюваність- см. також Геделя теорема про неповноту).
2) Якщо формалізована арифметика дійсності несуперечлива, то, хоча твердження про її несуперечливість може бути виражено її власною мовою, доведення цього твердження неможливо провести засобами, формалізуються в ній самій.
Це означає, що вже для арифметики принципово неможливо вичерпати весь обсяг її змістовно істинних суджень класом виводимо формул який би формальної системою і що немає ніякої надії отримати якесь фінітних доведення несуперечності арифметики, тому що, очевидно, будь-яке розумне уточнення поняття фінітного доведення виявляється формализуемость у формальній арифметиці.
Все це ставить певні межі можлівстям А. м. В тому його вигляді, який він придбав в рамках гільбертовського формалізму. Однак і в цих межах він зіграв і продовжує грати важливу роль в підставі математики. Так, наприклад, вже після описаних результатів К. Геделя їм же в 1938-40 рр, а потім П. Коеном в 1963 р на основі аксіоматичного підходу із застосуванням методу інтерпретацій були отримані фундаментальні результати про сумісність (тобто відносну несуперечливість) і незалежність аксіоми вибору і континуум-гіпотези в теорії множин. Що стосується такого основного питання основ математики, як проблема несуперечності, і після результатів К. Геделя стало ясно, що для його вирішення, очевидно, не обійтися без інших, відмінних від фінітістськіх, засобів і ідей. Тут виявилися можливими різні підходи, з огляду на існування різних поглядів на допустимість тих чи інших логічних засобів.
З результатів про несуперечливість формальних систем слід вказати на доведення несуперечності формалізованої арифметики, що спирається на нескінченну індукцію до певного лічильно трансфінітної числа.
за П. С. Новіковим.

Увага, тільки СЬОГОДНІ!