Рівняння ланжевена

Відео: Гамов. Фізик від Бога. Росія 2009 (дф) (sl)

рівняння Ланжевена - стохастичне диференціальне рівняння, використовується в статистичній фізиці для опису процесів з випадковими силами, наприклад, броунівський рух.
Виходячи з рівняння Ланжевена, для випадкових сил з певними характеристиками можна побудувати рівняння Фоккера-Планка, які задають еволюцію функції розподілу змінної.
Перше рівняння, вивчене Полем Ланжевеном, описувало броунівський рух з постійним потенціалом, тобто прискорення броунівський частинки з масою m, що виражається через суму сили в`язкого тертя, яка пропорційна швидкості частинки за законом Стокса, шумового члена (Назва, яке використовується у фізиці для позначення стохастичного процесу в диференціальному рівнянні) - за рахунок безперервних зіткнень частинки з молекулами рідини, і - Систематичної сили, що виникає при внутрішньомомекулярніх і міжмолекулярних взаємодіях:







Перепишемо рівняння Ланжевена без зовнішніх сил. Крім того, без втрати спільності можна розглядати тільки одну з координат.







Будемо вважати, що випадкова сила задовольняє таким умовам:








де b - деяка константа, яку ми визначимо пізніше,? (t 1 - t 2) - дельта-функція Дірака. Кутовими дужками позначено усереднення за часом. Це т.зв. дельта-корельована випадкова величина: її автокореляційна функція дорівнює дельта-функції. Такий випадковий процес також називається білим шумом.
Перепишемо рівняння в термінах швидкості:





v = - lambda v + frac Fm "src =" https://upload.wikimedia.org/math/e/1/e/e1e...8d114f7b5e2.jpg "



де
Нехай в початковий момент часу t = t 0 частка мала швидкість v 0. Будемо шукати рішення у вигляді: v (t) = u (t) exp (-? t), тоді для u (t) отримаємо наступне диференціальне рівняння:







У підсумку, отримуємо шуканий вираз для швидкості:







З нього випливають два важливих співвідношення:

. Є середнє значення швидкості прямує до нуля з плином часу.


.

Середній квадрат швидкості з часом прагне до значення .
Якщо припустити, що кінетична енергія частинки з часом прагне до теплової, то можна визначити значення коефіцієнта b:







Перетворенням вихідного вираження можна отримати, що:








Звідси випливає співвідношення Ейнштейна:



D = k B T B



де B - рухливість броунівський частинки, а D - коефіцієнт дифузії.

Увага, тільки СЬОГОДНІ!