Аналітична геометрія

Відео: Аналітична геометрія: практикум вирішення завдань

Аналітична геометрія, розділ геометрії, в якому властивості геометричних образів (точок, ліній, поверхонь) встановлюються засобами алгебри за допомогою методу координат, тобто шляхом вивчення властивостей рівнянь, графіками яких ці образи.
аналітична геометрія - розділ геометрії, що вивчає властивості геометричних фігур засобами елементарної алгебри (в широкому розумінні - засобами математичного аналізу), пов`язуючи їх із застосуванням методу координат. Основні положення аналітичної геометрії вперше сформулював філософ і математик Р. Декарт. Г. Лейбніц, І. Ньютон і Л. Ейлер надали аналітичної геометрії сучасної структури.
Характерною особливістю аналітичної геометрії є визначення геометричних фігур рівняннями. Нехай на площині з осями координат OX і OY (прямокутна декартова система координат) маємо лінію l. Якщо вздовж l видалити точку M, то координати x, y цієї точки будуть змінюватися, але між ними буде існувати певна залежність, яку можна записати у вигляді рівняння:

,

де f (x, y) є математичний вираз, що містить змінні x і y або одну з них.
Наприклад, з прямокутного трикутника OMP виводимо, що рівняння кола K радіуса г з центром на початку координат 0 є



x 2 + y 2 - r 2 = 0.

Розглянемо ще пряму АВ. Якщо М є довільна її точка і OA = a, OB = b, то PA = a - x. З подоби прямокутних трикутників MPA і BOA маємо:

.



Звідси отримуємо рівняння прямої АВ:

.

В аналітичній геометрії приймають, що рівняння визначає геометричну фігуру як безліч точок, координати х і у яких виправдовує це рівняння. Іншими словами, рівняння розглядають як засіб для поділу точок площини на 2 класу: до 1-го відносяться точки, координати яких виправдовує дане рівняння (ці точки утворюють певну рівнянням фігуру), до 2-го-всі інші точки площині. Якщо рівняння алгебри, то воно визначає лінію - дійсну або уявну (див. Нижче), яку називають алгебраїчної, а ступінь рівняння - порядком цієї лінії. Порядок алгебраїчної лінії не залежить від того, як розміщені щодо неї осі координат. Прямі та тільки прямі є лініями 1-го порядку-конічні перетину (тобто лінії, що утворюються при перетині конуса площиною) і тільки вони є лініями 2-го порядку. аналогічно рівняння f (x, y, z) = 0, де х, у, z-декартові координати точки в просторі, визначає просторову фігуру, зокрема алгебраїчну поверхню n-го порядку, якщо воно є алгебраїчним рівнянням n-го ступеня. В сучасних курсах аналітичної геометрії вивчаються тільки лінії і поверхні 1-го і 2-го порядків.
Застосування в аналітичної геометрії алгебраїчних методів призвело до поняття уявної фігури. Сукупність двох чисел х, у, з яких не менше одне уявне, можна розглядати як уявну точку. Якщо рівняння (наприклад, x 2 + y 2 + 1 = 0) виправдовує лише координати уявних точок, то вважають, що воно визначає уявну фігуру. Хоча поняттям нескінченно віддалених і уявних точок не відповідають ніякі реальні образи, однак введення їх дозволило глибше дослідити властивості фігур.
В сучасних курсах аналітичної геометрії широко використовується апарат векторного обчислення.

Увага, тільки СЬОГОДНІ!