Механіка лагранжа

Відео: Аналітична механіка | функціонал Лагранжа | 1

механіка Лагранжа - один з можливих формулювань класичної механіки, аналогічне за своєю суттю законам Ньютона.
У фізиці механіка в формулюванні Лагранжа оперує з узагальненими координатами і швидкостями і визначає закони еволюції механічної системи, спираючись на принцип найменшої дії.
Механіка в формулюванні Лагранжа цілком аналогічна ньютоновских і виводиться з нього. Одночасно вона є зручною при розгляді систем зі зв`язками. Наприклад, при вивченні коливань маятника зручно записувати рівняння руху через кут відхилення від вертикалі. Формалізм Лагранжа дозволяє простим чином отримати і такі рівняння руху.
функція Лагранжа
Для опису фізичної системи вводяться узагальнені координати q i і відповідні узагальнені швидкості . функція Лагранжа визначається як



де T і U - кінетична і потенційна енергія системи, відповідно.
Рівняння Ейлера-Лагранжа
Рівняння руху записуються, як



Ці рівняння, які називають рівняннями Ейлера-Лагранжа, виводяться з принципу найменшої дії.


У разі, коли в механічній системі діють непотенціальні сили рівняння руху набуває вигляду

,

де - Узагальнена непотенціальні сила.
механічний осцилятор
У разі класичного одновимірного механічного осцилятора (без тертя) функція Лагранжа має такий вигляд:



k - коефіцієнт пружності.
рівняння Лагранжа





L 0 - індуктивність і C 0 - ємність, LC-контура, а q - електричний заряд.
рівняння Лагранжа



є такий же, як і в разі підходу, що не використовує функцію Лагранжа.
Релятивістська механіка
Функція Лагранжа в разі релятивистского руху вільної частинки з масою m має вигляд:



де c - швидкість світла, а v - швидкість частинки.

Увага, тільки СЬОГОДНІ!