4-Вектор

Відео: 14. Introduction to the Four-Vector

4-вектор - це аналог тривимірного вектора в чотиривимірному просторі-часі, складеному змінними ct і x, y, z звичайного простору.
У цьому визначенні t - час, c - швидкість світла.
При переході від звичайних векторів тривимірного простору до 4-векторів основні рівняння фізики набирають простої форми.
Кожна подія характеризується місцем і часом. Тобто її можна характеризувати за допомогою чотирьох чисел: час t і декартовими координатами x, y, z. Якщо помножити час на універсальну постійну швидкість світла, то можна визначити так званий радіус-вектор в чотиривимірному просторі (x 0, x 1, x 2, x 3), де x 0 = c t, x 1 = x, x 2 = y, x 3 = z). Це простір називають простором Маньківського.
Очевидно, що значення x, y, z залежать від вибору системи координат. При переході від однієї інерціальної системи координат до іншої змінюється також значення часу згдіно з перетвореннями Лоренца. Так при переході до системи координат, яка рухається відносно початкової системи зі швидкістю V вздовж осі x, отримаємо:




,

де .
Радіус-вектор події є першим прикладом 4-вектора, який називають 4-радіус-вектором.
Довільна четвірка чисел (A 0, A 1, A 2, A 3), при переході від однієї системи координат в іншу перетоврюеться аналогічно 4-радіус-вектора називається коваріантрім 4-вектором.
Четвірка чисел (A 0, - A 1 - A 2, -A 3) називається контраваріантім 4-вектором. Контраваріантний 4-вектори позначаються нижніми індексами.

(A 0, A 1, A 2, A 3) = (A 0, - A 1 - A 2, -A 3).

Скалярним добутком двох 4-векторів називається вираз

.



Знак суми в скалярному творі прийнято не писати, вважаючи, що повторення індексу внизу і вгорі автоматично означає підсумовування за цим індексом.
Скалярний твір 4-векторів при переході до іншої системи коодінат не змінюється.
Іноді 4-вектори записуються в формі .
четвірка операторів



є контраваріантний 4-Вектра, аналогом оператора градієнта Гамільтона.
4-швидкість визначавши, як



де ds - просторово-часовий інтервал між нескінченно близькими подіями, і дорівнює:

,

де - Звичайна тривимірна швидкість. 4-швидкість - безрозмірна величина.
Для 4-швидкості справедливо співвідношення



u i u i = 1.

4-імпульс частинкивизначається, як

.

де m - маса частинки, E - енергія частинки.
Для 4-імпульсу справедливе співвідношення: p i p i = m 2 c 2.
4-прискорення - це друга похідна від 4-радіусу щодо просторово-часового інтервалу

.

Для 4-прискорення справедливе співвідношення

,

є 4-прискорення ортогональное до 4-швидкості.
4-потенціал електромагнітного поля визначається як ,
де? - електричний потенціал, а - Векторний потенціал магнітного поля.
4-щільність струму визначається як . Рівняння безперервності тоді приймає форму Frac {partial j ^ i} {partial x ^ i} = 0 "src =" https://upload.wikimedia.org/math/9/7/1/971...c5c19ddbec7.jpg " , або в скороченому вигляді .

Увага, тільки СЬОГОДНІ!