Класична механіка

Відео: Лекція 1. | 8.01 Фізика I: Класична механіка, восени 1999

Класична механіка - це розділ фізики, що вивчає рух на основі законів Ньютона. Класична механіка поділяється на:
Базовими поняттями класичної механіки є поняття сили, маси і руху. Маса в класичній механіці визначається як міра інерції, або здатності тіла до збереження стану спокою або рівномірного прямолінійного руху при відсутності впливу на нього сил. З іншого боку, сили, що діють на тіло, змінюють стан його руху, викликаючи прискорення. Взаємодія цих двох ефектів і є головною темою механіки Ньютона.
Іншими важливими поняттями цього розділу фізики є енергія, імпульс, момент імпульсу, які можуть передаватися між об`єктами в процесі взаємодії. Енергія механічної системи складається з її кінетичної (енергії руху) і потенційної (залежною від положення тіла відносно інших тіл) енергій. Щодо цих фізичних величин діють фундаментальні закони збереження.
Основи класичної механіки були закладені Галілеєм, а також Коперником і Кеплером при вивченні закономірностей руху небесних тіл, і довгий час механіка і фізика розглядалися в контексті астрономічних подій.
У своїх роботах Коперник відзначав, що обчислення закономірностей руху небесних тіл може бути значно спрощений, якщо відійти від принципів, закладених Аристотелем, і вважати Сонце, а не Землю, відправною точкою для таких обчислень, тобто здійснити перехід від геоцентричної до геліоцентричної систем.
Ідеї геліоцентричної системи далі були формалізовані Кеплером в його трьох законах руху небесних тіл. Зокрема, з другого закону випливало, що всі планети сонячної системи рухаються еліптичними орбітами, які мають одним зі своїх фокусів Сонце.
Наступний важливий внесок у заснування класичної механіки було здійснено Галілеєм, який, досліджуючи фундаментальні закономірності механічного руху тіл, зокрема під впливом сил земного тяжіння, сформулював п`ять універсальних законів руху.
Але все ж лаври основного засновника класичної механіки належать Ісааку Ньютону, який у своїй роботі «Математичні початки натуральної філософії» здійснив синтез тих понять з фізики механічного руху, які були сформульовані його попередниками. Ньютон сформулював три фундаментальні закони руху, які були названі його ім`ям, а також закон всесвітнього тяжіння, який підводив риску під дослідженнями Галілеєм феномену вільного падіння тіл. Таким чином, була створена нова, на заміну застарілої Аристотелевой, картина світу базових його законів.
Класична механіка дає точні результати для систем, які ми зустрічаємо в повсякденному житті. Але вони стають некоректними для систем, швидкість яких наближається до швидкості світла, де вона замінюється релятивістської механікою, або для дуже малих систем, де діють закони квантової механіки. Для систем, які об`єднують обидва ці властивості, замість класичної механіки обома характеристиками - квантова теорія поля. Для систем з дуже великою кількістю складових, або ступенів свободи, класична механіка також бути адекватною, зате використовуються методи статистичної механіки
Класична механіка зберігає, тому що вона, по-перше, набагато простіше в застосуванні, ніж інші теорії, і, по-друге, має великі можливості для апроксимації і застосування для дуже широкого класу фізичних об`єктів, починаючи зі звичних, таких як дзига або м`яч , багатьох астрономічних об`єктів (планети, галактики) і зовсім мікроскопічних).
Хоча класична механіка в загальних рисах сумісна з іншими «класичними теоріями, такими як класична електродинаміка та термодинаміка, є деякі невідповідності між цими теоріями, які були знайдені в кінці 19 століття. Вони можуть бути вирішені методами більш сучасної фізики. Зокрема, класична електродинаміка пророкує, що швидкість світла постійна, що є несумісним з класичною механікою і призвело до створення спеціальної теорії відносності. Принципи класичної механіки розгляді спільно з твердженнями класичної термодинаміки, що призводить до парадоксу Гіббса, згідно з яким неможливо точно визначити величину ентропії і до ультрафіолетової катастрофи, в якій абсолютно чорне тіло повинно випромінювати нескінченну кількість енергії. Для подолання цих невідповідностей була створена квантова механіка.
Об`єкти, які вивчаються механікою, називаються механічними системами. Завданням механіки є вивчення властивостей механічних систем, зокрема їх еволюції в часі.
Базовий математичний апарат класичної механіки - диференціальне та інтегральне числення, розроблене спеціально для цього Ньютоном і Лейбніцем. У класичному формулюванні механіка будується на трьох законах Ньютона.
Далі дається виклад базових концепцій класичної механіки. Для простоти будемо розглядати тільки матеріальну точку об`єкта, розмірами якого можна знехтувати. Рух матеріальної точки характеризується кількома параметрами: її положенням, масою, і доданими до неї силами.
У реальності, розміри кожного об`єкта, з яким має справу класична механіка, є ненульовими. Матеріальні точки, такі, як електрон, підпадають під дію законів квантової механіки. Об`єкти ненульового розміру можуть відчувати більш складні рухи, оскільки їх внутрішній стан може змінюватися - наприклад, м`яч може ще і обертатися. Проте, до таких тіл результати, отримані для матеріальних точок, розглядаючи їх як сукупності великої кількості взаємодіючих матеріальних точок. Такі складні тіла ведуть себе як матеріальні точки, якщо їх малі в масштабах даної задачі.
Радіус-вектор і його похідні
Положення об`єкта матеріальної точки визначається щодо фіксованої точки в просторі, яка називається початком координат. Воно може бути задано координатами цієї точки (наприклад, в прямокутній системі координат) або радіус-вектором r, проведеним з початку координат в цю точку. У реальності, матеріальна точка може рухатися з плином часу, тому радіус-вектор в загальному випадку є функцією часу. У класичній механіці, на відміну від релятивістської, вважається, що протягом часу є однаковим у всіх системах відліку.
траєкторія
Траєкторією називається сукупність всіх положень матеріальної точки, що рухається - в загальному випадку вона є кривою лінією, вид якої залежить від характеру руху точки і обраної системи відліку.
переміщення
Переміщення - це вектор, що сполучає початкове і кінцеве положення матеріальної точки.
швидкість
Швидкість, або відношення переміщення до часу, протягом якого воно відбувається, визначається як перша похідна від переміщення до часу:

.

У класичній механіці, швидкості можна додавати і віднімати. Наприклад, якщо одна машина їде на захід зі швидкістю 60 км / год, і наздоганяє іншу, яка рухається в тому ж напрямку зі швидкістю 50 км / год, то щодо другої машина перша рухається на захід зі швидкістю 60-50 = 10 км / год . Зате на перспективу швидкі машини, повільніше рухається зі швидкістю 10 км / год на схід.
Для визначення відносної швидкості в будь-якому випадку застосовуються правила векторної алгебри для складання векторів швидкості.
прискорення
Прискорення, або швидкість зміни швидкості - це похідна від швидкості до часу або друга похідна від переміщення до часу:

.

Вектор прискорення може змінюватися за величиною, так і за напрямком. Зокрема, якщо швидкість зменшується, іноді прискорення "уповільненням, але взагалі будь-яку зміну швидкості.
Сили. Другий закон Ньютона
Другий закон Ньютона стверджує, що прискорення матеріальної точки є прямо пропорційним силі, на неї діє, а вектор прискорення направлений по лінії дії цієї сили. Іншими словами, цей закон пов`язує силу, яка діє на тіло з його масою і прискоренням. Тоді другий закон Ньютона виглядає так:

.

величина m v називається імпульсом. Зазвичай, маса m не змінюється з часом, і закон Ньютона можна записати в спрощеній формі



де а - прискорення, яке було визначено вище. Маса тіла m Не завжди з плином часу. Наприклад, маса ракети зменшується в міру використання пального. При таких обставинах, останній вираз можна застосувати, і слід користуватися повною формою другого закону Ньютона.
Другого закону Ньютона недостатньо для опису руху матеріальної точки. Він вимагає визначення тієї сили, яка на неї діє. Наприклад, типовий вираз для сили тертя при русі тіла в газі або в рідині визначається наступним чином:



де? - деяка константа, яка називається коефіцієнтом тертя.
Після того як визначені всі сили, на базі другого закону Ньютона отримаємо диференціальне рівняння, зване рівнянням руху. У нашому прикладі з лише однією силою, яка діє на частинку, отримаємо:

.

Проинтегрировав, отримаємо:



де - Початкова швидкість. Це означає, що швидкість руху нашого об`єкта зменшується експоненціально до нуля. Цей вислів в свою чергу може бути знову проінтегровано для отримання виразу для радіус-вектора r тіла в залежності від часу.
Якщо на частку діють кілька сил, то вони додаються за правилами додавання векторів.
енергія
якщо сила F діє на частинку, яка в результаті цього переміщається на? r, то при цьому виконується робота, що дорівнює:

.

Якщо маса частинки стала, то сумуючи роботи, виконані усіма силами, з другого закону Ньютона

,

де Т - кінетична енергія. Для матеріальної точки визначається як

.

Для складних об`єктів з безлічі частинок, кінетична енергія тіла дорівнює сумі кінетичних енергій всіх частинок.
Особливий клас консервативних сил може бути виражений градієнтом скалярної функції, відомої як потенційна енергія V:



Якщо всі сили, що діють на частку консервативні, а V - повна потенційна енергія, отримана додаванням потенційних енергій всіх сил, то
Тобто повна енергія E = T + V зберігається в часі. Це прояв одного з фундаментальних фізичних законів збереження. У класичній механіці він може бути корисним практично, адже багато різновидів сил в природі є консервативними.
Закони Ньютона мають кілька важливих наслідків для твердих тіл (див. Момент імпульсу)
Існують також два важливих альтернативні формулювання класичної механіки: механіка Лагранжа і Гамільтона механіка. Вони еквівалентні механіці Ньютона, але іноді виявляються корисними для аналізу деяких проблем. Вони, як і інші сучасні формулювання, не використовують поняття сили, замість звертаючись до інших фізичних величин, таких як енергія.