Варіаційне числення

Відео: Основи варіаційного числення | приклади функціоналів

варіаційне числення - це розділ функціонального аналізу, який займається диференціюванням функціоналів.
Примітка: функціонали можна інтегрувати по простору функцій. Цю операцію вперше застосував американський фізик Річард Фейнман, ввівши поняття інтеграла функціонала по траєкторіях. Цей інтеграл виявляється що сходяться за умови, що підінтегральною функціонал досить швидко наближається до нуля, коли осциляції аргументної функції наростають.
Найважливішим для практики є функціонал виду:



для випадку функції скалярного аргументу (x = x (t)), і



для випадку вектор-функції декількох координат (X i = x i (u 1, u 2, ... u n)).
До цих двох функціоналів приводять по-перше, завдання на мінімум / максимум у фізиці, диференціальної геометрії, теорії оптимального управління. А по-друге, можливість виведення рівнянь фізики з рівності нулю варіації функціонала дії.
Зокрема, саме варіаційне числення почалося з завдання про брахістрохрону (криву лінію, рухаючись по якій без тертя матеріальна точка під дією сили тяжіння швидше досягне фіксованої фінішної точки. Якщо вибрати систему координат, направивши вісь O y вертикально вниз, то швидкість Матеріальна точки буде, а час спуску по кривій дається інтегралом



У задачі потрібно знайти таку функцію y = y (x), зафіксовану на кінцях: y (0) = 0, y (x 0) = y 0, щоб даний інтеграл був мінімальним. Очевидно, що інтеграл (3) з точністю до заміни позначень збігається з функціоналом (1). У диференціальної геометрії пошук геодезичної лінії (найкоротшої лінії, що з`єднує дві точки різноманіття) призводить до функціоналу (1), де



А пошук мінімальних різноманіть, натягнутих на "рамку", призводить до функціоналу виду (2).
Функціонал є функцією, областю визначення якої (аргументом) є безліч функцій, а безліччю значень - дійсні (або комплексні числа). Очевидно, що якби не вводити спеціального терміна "функціонал", то була б термінологічна плутанина при міркуваннях про аргумент і значення функціоналу. Це ж зауваження стосується і диференціювання, адже аргумент функціонала також можна диференціювати. Тому при розгляді функціоналів малий приріст аргументу (і, відповідно, функціоналу) називають варіацією, і позначають малою грецькою буквою:



Варіація є аналогом поняття диференціала звичайних функцій. Можна собі уявляти варіацію x, як функція має дуже малий розмах ( "амплітуду"), і звертається в нуль на кордоні області інтегрування (тобто для функціоналу (1) x | a = x | b = 0). В іншому ця функція має довільну форму, можна записати так: x (t) = f (t), де - нескінченно мале позитивне число.
Обчислення варіацій для функціоналів (1) і (2) аналогічне. Почнемо з простішого функціонала (1). маємо:





В останньому доданку (в підінтегральної функції) ми можемо переставити взяття варіації і взяття похідної по для аргументної функції ():



Тепер ми можемо проінтегрувати останній доданок в (4) частинами:



Оскільки на кінцях інтервалу інтегрування варіація функції перетворюється в нуль ( x = 0 при t = a і при t = b), то для варіації функціонала (4) маємо остаточно:



Тепер ми можемо дати відповідь на питання: за яких умов варіація функціонала (5) дорівнює нулю. оскільки варіація x є довільною функцією, ми можемо вибрати довільну точку всередині області інтегрування, функція x = x (t) взяти такий, що вона позитивна в малому околі точки t 0, а у всіх точках за межами цього міста - перетворюється в нуль. Якщо вираз в дужках під інтегралом (5) буде відмінним від нуля в точці t 0, і мало змінюватися в обраному малому околі (фактично вважатися константою в порівнянні зі швидкістю зміни варіації x (t), яку ми можемо винести за знак інтеграла), то інтеграл (5) також буде відмінним від нуля. Отже, щоб за будь-якої варіації x (t) ми нульову варіацію функціонала (5), треба щоб виконувалося рівняння Ейлера-Лагранжа:



Формула (6) легко поширюється на випадок (який в практичних завданнях майже не зустрічається), коли функція Лагранжа L залежить від старших похідних аргументної функції x (t):



Формула (6) буде аналогічною і в разі коли функціонал залежить від вектор-функції скалярного аргументу:



Тепер можна розглянути також і диференціювання функціоналу (2). Обчислення виявляються аналогічними, але при інтегруванні частинами потрібно скористатися формулою Остроградського-Гаусса, яка переводить інтеграл від дівегренціі за обсягом в інтеграл по гіперповерхні, що обмежує цей об`єм (тут за однаковими індексами проводиться додавання згідно з правилом Ейнштейна):





Маємо (позначивши для стислості елемент обсягу d = d u 1 d u 2 ... d u n):



Другий доданок інтегруємо частинами, попередньо виділивши дивергенцію (перших складових):



Інтеграл від першого доданка перетворюється в інтеграл по поверхні, по формулі Остроградського-Гаусса. Він буде дорівнює нулю, оскільки варіація x i (u) на кордоні інтегрування перетворюється в нуль. Таким чином, маємо формулу першої варіації:



І відповідне рівняння Ейлера-Лагранжа:



Функціонал в околиці фіксованої аргументної функції можна розкласти в ряд Тейлора за ступенями малості варіації x:



Очевидно, що в локальному мінімумі функціоналу першої варіації варіація дорівнює нулю, а друга повинна бути позитивно-певної квадратичної формою від варіації аргументу x (І негативно певної в точці локального максимуму). Розглянемо випадок функціоналу від вектор-функції скалярного аргументу x i = x i (t), введемо позначення швидкостей. Тоді функція Лагранжа L розкладається в ряд Тейлора (похідні L по аргументах позначати індексами внизу):



Отже другий варіації функціоналу дорівнює:




Увага, тільки СЬОГОДНІ!