Теорія збурень

Відео: Квантова механіка. Лекція 18. Частина 2

теорія збурень - метод вирішення математичних задач, заснований на відомому рішення і розглядає відхилення від цього рішення пропорційними певному малому параметру.
Метод збурень є одним з основних методів знаходження рішень квантово-механічних рівнянь руху, зокрема рівняння Шредінгера. Розрізняють метод збурень для стаціонарного рівняння Шредінгера і метод збурень для тимчасового рівняння Шредінгера в тому випадку, коли обурення залежить від часу.
Теорія збурень для стаціонарного рівняння Шредінгера
Теорія збурень застосовується тоді, коли потрібно знайти власні числа і власні функції гамільтоніана

,

де H 0 - гамільтоніан з відомим спектром,? - малий параметр, - Оператор обурення.
Для хвильових функції n-го стану невозмущенного гамильтониана і енергії стану справедливо співвідношення



Для знаходження рішення проводиться розклад хвильової функції в ряд Тейлора щодо малого параметра

.

Власні функції невозмущенного гамильтониана складають ортонормированного базису, тому будь-яку хвильову функцію можна представити у вигляді

.

Таким чином, розклад в ряд Тейлора хвильової функції аналогічний розкладу коефіцієнтів c n:



Аналогічним чином розкладається в ряд Тейлора енергія власного стану

.

В першому наближенні теорії збурень (коли враховуються тільки лінійні по? члени) енергія n-го стану отримує приріст

Lambda int psi_ {n} ^ {(0) *} hat {V} psi_ {n} ^ {(0)} dV "src =" https://upload.wikimedia.org/math/4 / 7 / d / 47d41d2bb849d9c339b2ad39cad272c4.jpg ".

Зміна хвильової фунции визначається формулою

,

де - Власні значення невозмущенного гамильтониана , А





Ця зміна ортогональна початкової хвильової функції .
під другому наближенні теорії збурень враховуються члени, пропорційні? 2.

.


Очевидно, що поправка до енергії залишатися малою лише за умови, коли . Тобто, теорія збурень в представленому вигляді справедлива лише для систем і станів, енергії яких не невироджені і не близькі між собою. Для систем з близькими рівнями енергій і вироджених систем формули теорії збурень змінюються.
Теорія збурень вироджених рівнів
Обурення зазвичай призводить до зняття виродження. Стану, в невозмущенном стані мали однакову енергію, при обліку обурення отримують різне значення енергії.
У разі виродження існують власних функцій невозмущенного гамильтониана , відповідні енергії

.

Будь-яка лінійна комбінація цих функцій теж є власною функцією невозмущенного гамильтониана. Шукаючи рішення обуреної завдання в віляді



де a n ? - невизначені коефіцієнти, отримуємо в першому наближенні за малим параметром? систему рівнянь на власні значення енергії

.

Відхилення отриманих значень енергії від положення n-го рівня невозмущенной завдання пропорційне малому параметру. Визначаючи власні значення енергії можна одночасно знайти коефіцієнти a n ?, що визначають хвильові функції обурених станів.
Залежно від типу обурення зняття виродження може бути неповною.
Залежне від часу обурення
Якщо обурення залежить від часу потрібно вирішувати нестаціонарне рівняння Шредінгера

.

Функцію? (T) можна представити у вигляді розкладання по ортонормованій системі власних функцій гамильтониана невозмущенной завдання

.

Залежать від часу коефіцієнти розкладання c n (t) повинні задовольняти системі рівнянь

.



де [thumb = left] https://mir-prekrasen.net/uploads/posts/2011-02/1297875491_242a19bc6389e4067b1eaf8d20fa2e2e08.jpg [/ img], А [img = left] https://mir-prekrasen.net/uploads/ posts / 2011-02 / 1297875525_258f78aab06e18a706dbf58c04ff3e0622.jpg [/ thumb]. Ця система рівнянь повністю еквівалентна рівнянню Шредінгера. Вважаючи? малим параметром, рішення можна шукати у вигляді розкладання

.

Збираючи члени з однаковими ступенями щодо?, Можна отримати ланцюжок рівняння для наближених рішень

[Img = left] https://mir-prekrasen.net/uploads/posts/2011-02/1297875503_273a7fa3e05437b9c1c79116304a6b390c.jpg [/ img]
c_n ^ {(0)} (t) e ^ {i omega_ {mn} t} "src =" https://upload.wikimedia.org/math/6/8/f/68f...35d92c393a4.jpg "


т.д.
У нульовому наближенні теорії збурень хвильова функція не змінюється. Припускаючи, що до обурення система перебувала в одному з стаціонарних станів s, .
У першому наближенні теорії збурень

.

Таким чином, ймовірність того, що квантова система під дією обурення перейде зі стану s в стан n задається формулою



монохроматичне збудження
Якщо збудження монохроматическое, тобто його можна представити у вигляді

,

то інтегрування можна виконати і отримати



Імовірність переходу системи зі стану s в стан n має полюса при . При частотах зовнішнього збудження, які не збігаються з дивовижними речами енергій квантових станів, розділених на постійну Планка, ця ймовірність мала величина, осціллірующімі з часом. При збігу виникає явище резонансу і ймовірність переходу значно зростає.
При? n sgt; 0 другим членом можна знехнувати, і тоді

.

при залежить від часу множник переходить в дельта-функцію Дірака, а ймовірність переходу в одиницю часу задається золотим правилом Фермі

.


Увага, тільки СЬОГОДНІ!