Власна функція

Відео: Процедури і функції в Delphi (function, procedure)

власної функцією лінійного оператора L з власним значенням ? називається така ненульова функція f, для якої виконується співвідношення

L (f) =? f,

де? це певне число (дійсне або комплексне). Таким чином, дія оператора L на його власну функцію f зводиться до множення f на число?. Поняття власної функції - це зразок загального поняття власного вектора лінійного оператора, коли роль векторів відіграють функції. Зокрема, воно широко вістосовуеться в теорії диференціальних і інтегральних операторів. якщо L - це оператор Шредінгера з квантової механіки, то його власні функції мають сенс векторів стаціонарного стану, а власні значення відповідають енергії (див. Стаціонарне рівняння Шредінгера). Переважна більшість спеціальних функцій і все ортогональні поліноми, які розглядаються в математиці і фізиці, є власними функціями певних диференціальних операторів.
Якщо для оператора існує більше однієї лінійно незалежну власну функцію з однаковим власним значенням?, То таке власне значення називається виродженим. Безліч всіх власних значень оператора L належить до спектру L, але взагалі спектр оператора містить також?, не є власними числами.
1. Розглянемо зміна напрямку на числової осі . Це - відображення до себе, що призводить до лінійного оператору S, діючий на функціях на за формулою

S f (x) = f (- x).



власними функціями S є всі парні функції, що відповідають власному значенню 1, і всі непарні функції, що відповідають власному значенню -1, за винятком функції 0. Функції, які не є ні парними, ні непарними, не належать до власних функцій даного оператора. Спектр даного оператора збігається з безліччю власних значень і складається з двох чіслел: 1 і -1. Обидва власні значення вироджені, оскільки існує безліч парних або непарних функцій.
2. Для оператора похідної є власною функцією з власним значенням k. У теорії диференціальних рівнянь доводиться, що будь-яка Фунція f (x), задовольняє рівняння



має вигляд f (x) = C e k x, тобто пропорційна e k x. Тому жодне з власних значень є виродженим. Якщо поширити простір, на якому діє в простір всіх диференційовних комплекснозначних функцій, то будь-яка власна функція пропорційна комплексної експоненційної функції


3. Багаточлени Лежандра



є власними функціями диференціального оператора



з власними значеннями? = - l (l + 1). Ці функції - кінцеві в точках і будь-яка власна функція L конечна в пропорційно певного

Увага, тільки СЬОГОДНІ!