Теорія груп

Відео: Групи і теорія гомотопий (треш трейлер)

Всі повороти кубика Рубіка складають групу теорія груп - розділ математики, що вивчає властивості груп. Група - це алгебраїчна структура з двомісній операцією, і для цієї операції виконуються наступні властивості: асоціативність, існування нейтрального елемента, існування зворотного елемента.
Поняття групи є узагальненням понять група симетрій, група перестановок.
Часто група може являти собою безліч всіх перетворень (симетрій) деякої структури, оскільки результатом послідовного застосування двох перетворень (композицією) буде знову якийсь перетворення, також можливі зворотні перетворення, нейтральним елементом вважається відсутність перетворень.
Наприклад, в кубика Рубика безліч всіх трансформацій (що можливі за рахунок повороту граней) є групою, оскільки дві послідовні трансформації утворюють нову трансформацію, для кожної трансформації існує зворотна, нейтральний елемент - відсутність трансформацій.
Особливу корисність абстрактне поняття групи отримує завдяки властивості гомоморфізму, тобто такого зв`язку між різними групами, при якому групова операція зберігається. Гомоморфності групи різної природи мають однакові властивості, і вивчення однієї групи можна замінити вивченням інший. Наприклад, група поворотів тривимірного тіла гомоморфності групі спеціальних ортогональних матриць 3 3, груповий операцією якої є множення матриць (див. Матриці повороту). Завдяки гомоморфизма теорія груп знайшла широке застосування в різних областях математики і фізики, оскільки дозволяє виділити загальні риси в об`єктах дуже різної природи.
Теорія груп сформувалася в XIX столітті. Вона має три історичні корені: теорія алгебраїчних рівняти, теорія чисел і геометрія.


Основним завданням алгебри до XIX століття було рішення алгебраїчних рівнянь. В епоху Відродження були знайдені формули для вирішення рівнянь третього і четвертого ступенів. Було докладено значних зусиль для пошуку формул для рівнянь п`ятого і вищих ступенів, але понад два століття пошаків не дали бажаного результату. У 1770 Лагранж і Олександр Вандермонда помітили, що розв`язність рівняння зводиться до вивчення перестановок з його коренів. З 1799 Паоло Руффини в ряді робіт, присвячених цій темі, описав групу перестановок з п`яти елементів. У 1824 Нільс Абель довів теорему, що для рівнянь п`ятого і вищих ступенів не існує загальної формули, висловлювати коріння через коефіцієнти в радикалах (теорема Абеля-Руффини). Загальне рішення проблеми розв`язання алгебраїчних рівнянь отримав Еваріст Галуа в 1830. Саме Галуа ввів в своїх роботах термін «група» і почав використовувати властивості груп.
В геометрії в XIX столітті викликали інтерес геометричні перетворення. Їх вивчав, зокрема, Август Мебіус. Детальну класифікацію геометричних перетворень провів в 1854 Артур Келі. Він користувався терміном «група», використовував таблиці множення (таблиці Келі) і довів що кінцеве групу можна уявити перестановками. У Ерлангенського програмі Фелікса Клейна (1872) вивчення геометрії було пов`язано з вивченням відповідних груп перетворень. Наприклад, якщо задані фігури на площині, то групою рухів з`ясовується їх рівність.
Третій історичний шлях до теорії груп лежав через теорію чисел. Значний внесок у становлення групового підходу до теорії чисел зробили Леонард Ейлер, який вивчав залишку від ділення ступенів, Гаусс, який цікавився пошуком коренів рівняння х n -1 = 0 для побудови правильних багатокутників і Леопольд Кронекера, який працював над вивченням кінцевих абелевих груп, застосовуючи мову теорії чисел.
На початку XX століття теорією груп займалися Софус Лі, Давид Гільберт, Еммі Нетер, Еміль Артін, Людвіг Сілов.
групою називається безліч G, на якій визначена бінарна операція, зазвичай називається множенням і позначається або і має такі властивості:


Якщо група також має властивість коммутативности, то вона називається абельовой.
Коли елементи групи безперервно залежать від яких параметрів, то група називається безперервної, або групою Лі. Також кажуть, що група Лі - це група безліч елементів якої утворює гладке різноманіття. За допомогою груп Лі як групсиметрії знаходяться розв`язки диференціальних рівнянь.
Теорія груп має широку сферу застосування в математиці, фізиці, хімії і в прикладних областях, наприклад, в комп`ютерній графіці, криптографії і т.д.
Серед розділів математики, в яких застосовується теорія груп, геометрія і топологія, теорія чисел, теорія диференціальних рівнянь та інші.
У фізиці важливу роль відіграє поняття симетрії. Сукупність операцій симетрії становить групу. На основі вивчення цієї групи можна робити важливі висновки про властивості фізичних об`єктів. Наприклад, теорема Нетер встановлює той факт, що кожної симетрії відповідає закон збереження. Так, закон збереження енергії є результатом однорідності часу, закон збереження імпульсу випливає з однорідності простору, а закон збереження моменту імпульсу з ізотропності простору. Інші фізичні симетрії не настільки очевидні. У квантовій теорії поля існує поняття калібрувальних перетворень, відповідних фундаментальним симетрія світу елементарних частинок. Сукупність фундаментальних частинок за поданнями гомоморфності групам матриць з родини SU (n).
В кристалографії і хімії важливе значення мають операції симетрії, описувані точковими і просторовими групами. Вивчення цих груп важливо для класифікації та визначення властивостей мінералів і молекул. Групи симетрії визначають, наприклад, структуру оптичних спектрів, спектрів раманівського розсіювання т.д.

Увага, тільки СЬОГОДНІ!