Алгебра

Відео: Алгебра для всіх. Олексій Савватеев. [1] (ІМЕІ ярмо)

алгебра (Від арабського аль-джебр - відновлення) - розділ математики, що вивчає властивості дій над різними величинами і розв`язки рівняння, пов`язаних з цими діями. Вивчення властивостей композицій різного виду в 19 столітті призвело до думки, що основне завдання алгебри - вивчення властивостей операцій незалежно від об`єктів, до яких вони застосовуються. Відтоді алгебра стала розглядатися як загальна наука про властивості і закони композиції операцій. У наш час алгебра - одна з найважливіших частин математики, знаходить застосування як в чисто теоретичних, так і в практичних областях науки.

Стародавній світ

Вирішимо задачу: "Вік трьох братів 30, 20 і 6 років. Через скільки років вік старшого дорівнюватиме сумі віку обох молодших братів?" Позначивши шукану величину як х, складемо рівняння: 30 + х = (20 + х) + (6 + х), звідки х = 4. Близький до описаного метод вирішення був відомий ще в II тисячолітті до н. е переписувачам стародавнього Єгипту (проте вони не застосовували буквеної символіки). У збережених до наших днів математичних папірусах є не тільки задачі, що приводять до рівнянь першого ступеня з одним невідомим, як в завданні про вік братів, а й завдання, що призводять до рівнянь виду ах = b (див. Квадратне рівняння).

Ще більш складні завдання вміли вирішувати на початку II тисячоліття до н. е. в древньому Вавилоні: в математичних текстах, виконаних клинописом на глиняних табличках, є квадратні і біквадратні рівняння, системи рівнянь з двома невідомими і навіть найпростіші кубічні рівняння. При цьому вавілоняни також не використали літерних позначень, а наводили розв`язки типових задач, зводячи рішення аналогічних завдань до заміни числових значень. В числовій формі наводились і деякі правила тотожних перетворень. Якщо при вирішенні рівняння треба було знайти квадратний корінь числа а, яке не є точним квадратом, наближене значення кореня х знаходили як середнє арифметичне чисел х і а / г.

Перші загальні твердження про тотожних перетворення зустрічаються у давньогрецьких математиків, починаючи з VI ст. до н. н.е. Серед математиків Стародавньої Греції було прийнято висловлювати всі алгебраїчні затвердження в геометричній формі. Замість додавання чисел говорили про додавання відрізків, добуток двох чисел тлумачили як площу прямокутника, а твір трьох чисел як об`єм прямокутного паралелепіпеда. Алгебраїчні формули приймали вид співвідношень між площами та обсягами. Наприклад, говорили, що площа квадрата, побудованого на сумі двох відрізків, дорівнює сумі площ квадратів, побудованих на цих відрізках, збільшеною на подвоєну площу прямокутника, побудованого на цих відрізках. Таким чином терміни "квадрат числа" (т. Е. Твір величини на себе), «куб числа», «середнє геометричне". Геометричну форму прийняло у греків і рішення квадратних рівнянь - вони шукали сторони прямокутника по заданим периметру та площі.

Більшість завдань в Греції вирішувалося шляхом побудов циркулем і лінійкою (див. Геометричні побудови). Але не всі завдання могли бути вирішені такими методами. Прикладами таких завдань є подвоєння куба, Трисекция кута, завдання побудови правильного семикутника (див. Класичні задачі давнини). Всі вони зводилися до кубічних рівнянь виду х = 2, 4-х - З = а і х + х - 2х - 1 = 0 відповідно. Для вирішення цих завдань був розроблений новий метод, - відшукання точок перетину конічних перетинів (еліпса, параболи і гіперболи).

Геометричний підхід до алгебраїчних проблем обмежував подальший розвиток науки. Наприклад, не можна було додавати величини різних розмірностей (довжини, площі, об`єм), не можна було говорити про твір більш ніж трьох множників і т.д. Ідея відмови від геометричного трактування з`явилася у Діофанта Олександрійського, який жив у III ст. У його книзі "Арифметика" з`являються зачатки буквеної символіки і спеціальні позначення для ступенів аж до 6-ї. Були у нього і позначення для негативних ступенів, негативних чисел, а також знак рівності (особливого знака для складання ще не було), короткий запис правил множення позитивних і негативних чисел. На подальший розвиток алгебри сильний вплив зробили Диофантом завдання, що призводять до складних систем алгебраїчних рівнянь, в тому числі до систем, де число рівнянь було менше числа невідомих. Для таких рівнянь Діофант шукав лише позитивні раціональні рішення (див. Діофантові рівняння).

З VI ст. центр математичних досліджень переміщається в Індію, Китай, країни Близького Сходу і Середньої Азії. Китайські вчені розробили метод послідовного виключення невідомих для вирішення систем лінійних рівнянь, дали нові методи наближеного рішення рівнянь вищих ступенів. Індійські математики використовували негативні числа і вдосконалили буквену символіку. Однак лише в працях вчених Близького Сходу і Середньої Азії алгебра оформилася в самостійну галузь математики, що займається вирішенням рівнянь. У IX ст. узбецький математик і астроном Мухаммед аль-Хорезмі написав трактат "Кітаб аль-джебр валь-мукабала», де дав загальні правила для вирішення рівнянь першого ступеня. Слово «аль-джебр» (відновлення), від якого нова наука отримала свою назву, означало перенесення негативних членів рівняння з однієї частини в іншу зі зміною знака. Вчені Сходу вивчали і рішення кубічних рівнянь, хоча не зуміли отримати загальної формули для їх коренів. у Європі вивчення алгебри почалося в XIII в. Одним з великих математиків цього часу був італієць Леонардо Пізанський (Фібоначчі) (бл. 1170 - після 1228). Його «Книга абака» (1202) - трактат, який містив відомості про арифметику і алгебрі до квадратних рівнянь включно (див. Числа Фібоначчі). Першим великим самостійним досягненням західноєвропейських учених було відкриття в XVI ст. формули для розв`язання кубічного рівняння. Це було заслугою італійських алгебраїстів С. Дель Ферро, Н. Тарталья і Дж. Кардано. Учень Л. Феррарі вирішив і рівняння 4-го ступеня (див. Рівняння алгебри). Вивчення деяких питань, пов`язаних з корінням кубічних рівнянь, привело італійського алгебраиста Р. Бомбелли до відкриття комплексних чисел.

розвиток символіки

Відсутність зручною і добре розвиненою символіки сковувало подальший розвиток алгебри: найскладніші формули доводилося викладати у словесній формі. В кінці XVI ст. французький математик Ф. Вієт ввів буквені позначення не тільки для невідомих, і для довільних постійних величин. Символіка Вієта була вдосконалена його послідовниками. Остаточний вигляд їй надав в XVII в. французький філософ і математик Р. Декарт, який ввів (вживані донині) позначення для показників ступенів.

Поступово розширювався запас чисел, з якими можна було виконувати дії. Завоювали права громадянства негативні числа, потім - комплексні, вчені стали вільно застосовувати ірраціональні числа. При цьому виявилося, що, незважаючи на таке розширення запасу чисел, раніше встановлені правила алгебраїчних перетворень зберігають свою силу. Нарешті, Декарту вдалося звільнити алгебру від невластивої їй геометричної форми. Все це дозволило розглядати питання вирішення рівнянь в загальному вигляді, застосовувати рівняння до вирішення геометричних задач. Наприклад, завдання про знаходження точки перетину двох прямих звелася до вирішення системи рівнянь, яким задовольняли точки цих прямих. Такий метод вирішення геометричних завдань отримав назву аналітичної геометрії.

Розвиток буквеної символіки дозволило встановити загальні твердження щодо алгебраїчних рівнянь: теорема Безу про подільності багаточлена P (х) на двочлен (Х - а), де a - корінь цього многочлена- формула Вієта для співвідношення між країнами квадратного рівняння і його коеффіціентамі- правила, дозволяють оцінювати кількість дійсних коренів уравненія- загальні методи виключення невідомих з систем рівнянь і т.д. Подальші успіхи в традиційних завдань алгебри

Особливо далеко в сфері вирішення систем лінійних рівнянь вдалося просунутися в XVIII в. - Для них були отримані формули, що дозволяють виразити рішення через коефіцієнти і вільні члени. Подальше вивчення таких систем рівнянь привело до теорії матриць і визначників. В кінці XVIII ст. було доведено, що будь-який алгебраїчне рівняння з комплексними коефіцієнтами має хоча б один комплексний корінь. Це твердження носить назву основної теореми алгебри. Протягом двох з половиною століть увагу алгебраїстів була прикута до задачі про виведення формули для рішення загальних рівняння 5-го ступеня. Треба було висловити рішення цього рівняння через його коефіцієнти за допомогою арифметичних операцій і коренів (вирішити рівняння в радикалах). Лише в XIX в. італієць П. Руффини і норвежець Н. Абель незалежно один від одного довели, що такої формули не існує. Ці дослідження були завершені французьким математиком Е. Галуа, методи якого дозволили для такого рівняння визначити, вирішується воно в радикалах чи ні. Один з найвидатніших математиків - К. Гаусс з`ясував, коли можна побудувати циркулем і лінійкою правильний n-кутник: дана задача була безпосередньо пов`язана з вивченням коренів рівняння x n = 1. З`ясувалося, що вона вирішувана тільки тоді, коли число n є простим числом Ферма чи твором кількох різних простих чисел Ферма. Тим самим молодий студент (Гаусу було тоді 19 років) вирішив задачу, яку безуспішно займалися вчені понад два тисячоліття.

Розширення області досліджень алгебри

На початку XIX, була вирішена основні завдання, які стояли перед алгеброю в першому тисячолітті її розвитку. алгебра отримала самостійне обгрунтування, що не спирається на геометричні поняття, а методи алгебри стали застосовуватися для вирішення геометричних задач. Були розроблені правила буквеного числення для раціональних і ірраціональних виразів, з`ясоване питання про можливість розв`язання рівнянь в радикалах і побудована строга теорія комплексних чисел. Сторонньому спостерігачеві могло здатися, що тепер математики вирішуватимуть нові класи алгебраїчних рівнянь, доводити нові алгебраїчні тотожності і т.д. Однак розвиток алгебри стала розвиватися іншим шляхом: з науки про буквені обчислення і рівняння вона перетворилася в загальну науку про операції та їх властивості.

Після створення теорії комплексних чисел виникло питання про існування «Гіперкомплексні чисел» - чисел з кількома "уявними одиницями". Таку систему чисел, що мали вигляд a + bi + cj + dk, де i 2 = j 2 = k 2 = -1, побудував в 1843 р ірландський математик В. Гамільтон, назвавши їх «кватернионами». Правила дій над кватернионами нагадують правила звичайній алгебри, однак операція множення не є комутативність: наприклад, ij = k, а ji = - k.

З операціями, властивості яких лише частково нагадують властивості арифметичних операцій, математики XIX в. зіткнулися і в інших питаннях. У 1858 р англійський математик А. Келі ввів загальну операцію множення матриць і вивчив її властивості. Виявилося, що до множення матриць зводиться багато вивчених раніше операції. Англійська логік Джордж Буль в середині XIX в. почав вивчати операції над висловлюваннями, які дозволяли з двох даних висловлювань побудувати третє, а в кінці XIX ст. німецький математик Г. Кантор ввів операції над множинами: об`єднання, перетин і т.д. Виявилося, що і як у випадку операцій над висловлюваннями, так операції мають властивості коммутативности, асоціативністю і дистрибутивности, але деякі їх властивості не схожі на властивості операцій над числами.

Таким чином протягом XIX в. виникли різні види алгебр: звичайних чисел, комплексних чисел, кватерніонів, матриць, висловлювань, множин. Кожна з них мала свої правила, свої тотожності, свої методи вирішення рівнянь. При цьому для деяких видів алгебр правила були дуже схожими. Наприклад, правила алгебри раціональних чисел не відрізняються від правил алгебри дійсних чисел. Саме тому формули для раціональних чисел, виявляються вірними і для будь-яких дійсних (і навіть будь-яких комплексних) чисел. Однаковими виявилися правила в алгебрі висловлювань і в алгебрі множин. Все це призвело до абстрактного поняття композиції, тобто операції, яка кожній парі (A, b) елементів певної множини ставить у відповідність третій елемент цього ж множини. Композиціями є додавання і множення натуральних, цілих, раціональних, дійсних і комплексних чисел, множення матриць, перетин і об`єднання підмножин певної множини і т.д. А віднімання і ділення в поле натуральних чисел не є композиціями, тому що різниця і частка можуть не бути натуральними числами.

Вивчення властивостей композицій різного виду призвело до думки, що основне завдання алгебри - вивчення властивостей операцій незалежно від об`єктів, до яких вони застосовуються. Інакше кажучи, - алгебра стала розглядатися як загальна наука про властивості і закони композиції операцій. При цьому два безлічі, в кожній з яких визначено композиції, стали вважати тотожними з точки зору алгебри (ізоморфними), якщо між цими множинами можна встановити взаємно-однозначна відповідність, що переводить один закон композиції в інший. Якщо два безлічі з композиціями ізоморфні, то, вивчаючи одну з них, дізнаємося алгебраїчні властивості іншого.

Оскільки сукупність різних множин із заданими в них законами композиції обмежена, було виділено типи таких множин, які хоча і не ізоморфні, проте мають загальні властивості композиції. Наприклад, вивчивши властивості операцій додавання і множення над множинами раціональних, дійсних і комплексних чисел, математики створили загальне поняття поля - безлічі, де визначені ці дві операції, причому виконуються їх звичайні властивості. Дослідження операції множення матриць призвело до виділення поняття групи, яке є зараз одним з найважливіших не тільки в алгебрі, і в усій математиці.