Диференціальне числення

Відео: Матаналіз Диференціальне числення Лекція 1 Частина I Визначення похідної

Графік функції, позначені чорним кольором, і дотична до нього (червоний колір). Значення тангенса кута нахилу дотичної, проведеної до кривої в точці, є значення похідної в цій точці (коричневий колір) диференціальне числення - розділ математики, в якому вивчаються похідні, диференціали і їх застосування в дослідженні властивостей функцій. Формування диференціального обчислення пов`язано з іменами Ісаака Ньютона і Лейбніца. Саме вони чітко сформували основні положення та вказали на взаємодоповнюючі характер діференцюювання і інтегрування. Створення диференціального обчислення (разом з інтегральним) відкрило нову епоху в розвитку математики. З цим пов`язані такі дисципліни як теорія рядів, теорія диференціальних рівнянь і багато інших. Методи математичного аналізу знайшли застосування у всіх розділах математики. Дуже поширилася область застосування математики в природничих науках і техніці.
Диференціальне числення грунтується на таких найважливіших поняттях математики, визначення і дослідження яких і складають предмет введення в математичного аналізу: дійсні числа (числова пряма), функція, межа, безперервність. Всі ці поняття отримали сучасне трактування в ході розвитку і обґрунтування диференціального й інтегрального числення.
Основна ідея диференціального обчислення полягає у вивченні функції в малому. Точніше диференціальне числення дає апарат для дослідження функцій, поведінка яких в досить малому околі кожної точки близька до поведінки лінійної функції або многочлена. Таким апаратом служать центральні поняття диференціального обчислення: похідна і диференціал.
Поняття похідної виникло з великої кількості завдань природничих наук і математики, які зводилися до обчислення границь одного і того ж типу. Найголовніші серед них - визначення швидкості прямолінійного руху точки і вибудовування дотичної до графіка функції.
обчислення швидкості
Якщо рух точки є прямолінійним рівномірним, то швидкість не змінюється з часом і визначається як відношення пройденого шляху на час, який було витрачено на це. Однак, якщо рух є нерівномірним, то швидкість є функція часу, оскільки за однакові проміжки часу пройдений шлях буде різним. Наприклад, вільне падіння тіл. Закон руху такого тіла задається формулою, де s - пройдений шлях з початку падіння (в метрах), t - час падіння (в секундах), g - постійна величина, яка називається прискоренням вільного падіння, м / с 2. Таким чином за першу секунду падіння тіло пройде (приблизно) 4,9 м, за другу - 14,7 м, а за десяту - 93,2 м, тобто падіння відбувається нерівномірно. Тому визначення швидкості як відношення шляху до часу тут не може бути використаним. В цьому випадку розглядається середня швидкість руху за деякий проміжок часу після (або до) фіксованого моменту t. Вона (швидкість) визначається як відношення довжини шляху, який пройдено за цей проміжок часу, до його тривалості. Ця середня швидкість залежить не тільки від моменту t, але і від вибору проміжку часу. Для нашого прикладу середня швидкість падіння за проміжок часу від t до t + t дорівнює:
При необмеженій зменшенні проміжку t, вираз (1) поступово наближається до g t. Цю величину називають швидкістю руху в момент часу t. Таким чином, швидкість руху в будь-який момент руху визначається як межа середньої швидкості, коли проміжок часу необмежено зменшується.
У загальному випадку ці розрахунки необхідно проводити для будь-якого моменту часу t, проміжку часу від t до t + t і закону руху, віржаеться формулою s = f (t). Тоді середня швидкість руху за проміжок часу від t до t + t задається формулою, де s = f (t + t) - f (t), а швидкість руху в момент часу t дорівнює:
Основні переваги швидкості в даний момент, або миттєвої швидкості, перед середньої в тому, що вона є функцією часу як і закон руху, а не функцією інтервалу (T, t + t). Однак, миттєва швидкість є деякою абстракцією, оскільки безпосередньому вимірюванню підлягає лише середня швидкість, а не миттєва.


побудова дотичної
Побудова дотичної до графіка функції До виразу типу (2) зводиться задача побудови дотичної до площини кривої в деякій точці M. нехай крива Г є графік функції y = f (x). Положення дотичній можна знайти якщо знати її кутовий коефіцієнт, тобто тангенс кута, який дотична утворює з позитивним напрямом осі O x.
позначимо через x 0 абсциссу точки M, а через x 1 = x 0 + x - абсциссу точки M 1. Кутовий коефіцієнт січної M M 1 дорівнює:
,
де y = M 1 N = f (x 0 + x) - f (x 0) - приріст функції на проміжку [x 0, x 1]. Якщо визначати дотичну в точці M як граничне положення січної M M 1 при x 1 прагне до нуля, то отримаємо:
.
поняття похідної



Детальніше в статті Похідна


Отже, якщо не брати до уваги механічний і геометричний зміст попередніх завдань, а виділити спільних метод їх вирішення приходимо до поняття похідної. похідною функції y = f (x) в точці x називається межа (якщо ця межа існує) відношення приросту функції до приросту аргументу, прагне до нуля так що:
.
За допомогою похідною можна визначити силу струму, як межа, де q - позитивний електричний заряд, який проходить через провідник за час t, а також багато інших завдань фізики та хімії.
похідну функції y = f (x) позначають.
якщо функція y = f (x) має похідну в точці x 0, то вона визначена як в самій точці x 0, так і в деякій околиці цієї точки і неперервна в точці x 0. Однак зворотне сенсу не має. Наприклад, безперервна в кожній точці функція, графіком якої є бісектриси першого і другого координатних кутів, при x = 0 не має похідної, оскільки відношення не має меж при: якщо xgt; 0це відношення дорівнює + 1, а якщо x

Увага, тільки СЬОГОДНІ!