Тензор ейнштейна і річчі

Відео: Спеціальна теорія відносності

Поряд з серією кривизн Гаусса m-й ступеня:



природно з`являються (дивіться статтю Інтеграли Гаусса) наступні дві серії тензорів другого рангу.
тензор Ейнштейна m-й ступеня:



і тензори Річчі m-й ступеня:



З формул (2) і (3) легко бачити, що неповна згортка тензора Ейнштейна з тензором повної кривизни гіперповерхні дорівнює тензора Річчі на одиницю більшого ступеня:



Легко також обчислити слід (згортку) тензора Річчі:



Дещо складніше обчислювати слід тензора Ейнштейна. Для цього треба скористатися наступним властивістю тензора метричної матрьошки:



В результаті маємо:



Оскільки тензор метричної матрьошки перестановки з коваріантною похідною, то ми можемо записати:



Перший доданок в сумі симетричний за індексами (I, s 1) внаслідок рівняння Петерсона-Кодацці (дивіться статтю гіперповерхні):





Для виведення наступних формул, пов`язують тензори Ейнштейна та Річчі, треба вивести формулу, як тензор метричної матрьошки (що за визначенням дорівнює визначнику матриці, складеної з дельта-символів) розкладається по першому рядку матриці.
Нехай ми маємо тензор метричної матрьошки 2 (m + 1) рангу, який записується у вигляді визначника матриці розміром . Запишемо його розклад по першому рядку:




У правій частині цієї формули матриці визначників доданків утворюються в результаті викреслювання з матриці розкладання першого рядка і відповідно першого, другого, третього ... стовпців. Знаки доданків чергуються. Формулу (10) можна записати також в позначенні тензора метричної матрьошки:

p_1 dots p_m} dots + (-1) ^ {m-1} delta ^ i_ {p_m} g ^ {s_1 s_2 dots s_m} _ {j, p_1 dots p_ {m-1}} "src =" http: / /upload.wikimedia.org/math/3/d/8/3d8...7651f223c12.jpg "

Подивимося уважніше на перші три складові, звертаючи увагу на відповідність верхніх і нижніх індексів тензора метричної матрьошки. Перші два доданків в цьому сенсі задовільні. Що стосується третього доданка, то формула стане в деякому сенсі сіметрічнішою, якщо в тензора метрічоі матрьошки ми переставимо місцями (з відповідною зміною знака доданка) нижні індекси (J, p 1). Зробимо аналогічні зміни і для інших доданків. В результаті маємо наступну формулу:



У цій формулі перший доданок стоїть зі знаком "плюс", а решта m доданків зі знаком "мінус". Принагідно зауважимо, що з формули (11) легко слід формула згортки (6).
Можна отримати ще одну формулу, аналогічну (11), якщо розкладати визначник не по рядку, а по стовпцю:



Підставами розкладання (12) в формулу (2). отримуємо:



При розтині дужок перший доданок дає в результаті згортки



а решта доданків, внаслідок симетрії тензора метричної матрьошки щодо перестановки "вертикальних" пар індексів, кожен дає однаковий результат:





Оскільки кількість доданків (14) в правій частині формули (13) дорівнює m, то маємо:

R ^ {[m] i} _j - K ^ {[m]} delta ^ i_j "src =" https://upload.wikimedia.org/math/8/d/6/8d6...245f1bf0651.jpg "

Оскільки згідно з формулою (15) тензор Річчі відрізняється від тензора Ейнштейна додаванням симетричного тензора K [m] g i j, то нам достатньо довести симетрію тільки одного, наприклад тензора Ейнштейна. Жонглюючи індексами (піднімаючи і опускаючи) у формулі (2), знаходимо для коваіантніх координат тензора Ейнштейна:



оскільки тензор b i j симетричний, то ми можемо в тензора метричної матрьошки у формулі (16) переставити кожен індекс s i з відповідним йому індексом p i:



Далі, тензор метричної матрьошки симетричний щодо груп індексів. Переставляючи групи індексів в Тезора метричної матрьошки формули (17), ми прийдемо до правої частини формули (16) з переставленими індексами i, j. отже



Аналогічно тому, як це ми вираховували для кривизн Гаусса, знаходимо:






Отже для парних ступенів тензори Ейнштейна та Річчі є об`єктами внутрішньої геометрії, а тому певні для всіх різноманіть, а не тільки для гіперповерхонь.
Цікаво, що всі основні властивості тензорів Ейнштейна та Річчі (нульова дивергенція тензора Ейнштейна, основний зв`язок між тензором Ейнштейна і тензором Річчі, їх симетрія) зберігаються для всіх різноманіть, якщо для їх виведення користуватися формулами (19), (20). Наприклад обчислимо дивергенцію тензора Ейнштейна:

Cdots "src =" https://upload.wikimedia.org/math/4/b/7/4b7...391100dc410.jpg "

Тут виписані тільки перший доданок від похідної твори, інші доданків (з похідними наступних співмножників) аналогічні. У цьому доданка звернемо увагу на три індексу i, s 1, p 1 за якими ведеться згортка. Ці три індексу попарно різні, оскільки вони входять в одну антисиметрична групу індексів метричної матрьошки, і в ході згортки перебираються всі перестановки (в тому числі циклічні) цих індексів. Але для тензора Рімана сума циклічних перестановок дорівнює нулю внаслідок диференціальної тотожності Біанкі:



тому перший доданок в правій частині формули (21) дорівнює нулю. Для інших доданків аналогічно.

Увага, тільки СЬОГОДНІ!