Геодезична

Відео: Дзвінок в міліцію поліцію Казахстану - геодезична 12

геодезична лінія (Рус. геодезична лінія, англ. Geodesic line, ньому. Geodatische Linie f) - найкоротша відстань між двома точками, зокрема:
Крива на різноманітті називається геодезичної лінією, якщо в кожній її точці головна нормаль кривої ортогональна до різноманіття.
Властивості кривої на різноманітті
У охоплює різноманіття евклідовому просторі рівняння кривої задається функцією радіус-вектора точки кривої від параметра t кривої: . Оскільки ця крива також лежить на n-вимірному різноманітті, що задається рівнянням: , Те рівняння кривої дається функціями координат многовидах від параметра кривої t:



Вектор кривизни кривої є другою похідною від радіус-вектора по натуральному параметру s кривої (дивіться статтю Крива):



одиничний вектор n вздовж вектора кривизни є головною нормаллю кривої.
вектор кривизни можна розкласти на дві частини: паралельну і ортогональну до різноманіття.



Паралельна частина кривизни називається геодезичної кривин кривої. Згідно з визначенням, геодезична кривизна геодезичної лінії дорівнює нулю.
Обчислимо геодезичну кривизну:



Отже контраваріантний координати геодезичної кривизни рівні:



перша варіація
У точці локального екстремуму першої варіації дорівнює нулю (для спрощення запису в наступних перетворень не будемо писати межі інтегрування).



В останній формулі варіація точок кривої лежить в дотичному до многовидах афінному просторі, і ми можемо записати:



Оскільки варіації? u i довільні (хоча маленькі), то для рівності нулю останнього інтеграла у формулі (5) потрібно, щоб вектор кривизни кривої (2) був ортогональним до різноманіття, тобто геодезична кривизна (3) дорівнює нулю:



Формула (6) є рівнянням геодезичної лінії - диференціальним рівнянням щодо невідомих функцій u i = u i (s) при заданій метриці на різноманітті (а значить і заданих символах Крістофеля ).
друга варіація
Повторимо обчислення варіації довжини кривої (4), але тепер будемо враховувати одночасно складові першого і другого порядків. Для обчислень нам знадобиться розклад в ряд Тейлора (до членів другого порядку включно) функції квадратного кореня

Підінтегральною вираз формули (4) для проварійованоі кривої дорівнює:



або, розкладаючи в ряд з точністю до членів другого порядку:



Розглянемо докладніше середній доданок в останньому виразі. У ньому ми маємо одиничний дотичний вектор .





варіація за формулою Тейлора виражається через варіацію? u i координат на різноманітті з точністю до членів другого порядку:



Збираючи все разом, знаходимо першу і другу варіації, при цьому вважаючи параметр кривої натуральним:





Другу варіацію можна повністю виразити через варіації координат Tau ^ i "src =" https://upload.wikimedia.org/math/b/2/f/b2f...4797950e14e.jpg ".



позначимо варіацію одиничного дотичного вектора (разом з паралельним переносом на варіацію зміщення)



Тоді обчислюємо, враховуючи ортогональность векторів :




І нарешті враховуємо зв`язок тензора Рімана через вектори повної кривизни:



Підставляємо обчислені вирази в другу варіацію:



Де введено позначення зовнішнього добутку векторів - бівектора, або орієнтованої площадки, побудованої на двох векторах:



Обговорення формул варіацій геодезичної лінії
У формулу (9) для першої варіації входить скалярний твір геодезичної кривизни на варіацію координати. Якщо поблизу геодезичної лінії провести хвилясту лінію, близьку до синусоїди з частотою?, То для цієї хвилястою лінії отримаємо приблизно таку геодезичну кривизну: . В цьому випадку скалярний твір буде негативним (в евклідовому просторі): , А першою варіації (9) відповідно позитивна:? Sgt; 0. Це означає, що хвиляста лінія завжди довше геодезичну. (Звичайно, в псевдоевклидова просторі це не так, оскільки квадрат вектора може бути як позитивним, так і негативним. У загальній теорії відносності тіла рухаються по геодезичної не тому, що так коротше, а з іншої причини - через інтерференційних принципом Гюйгенса для хвиль, адже нульова першої варіації означає, шо при русі двох хвиль близькими траєкторія фаза хвиль збігається).
У формулі другий варіації (10) для геодезичної лінії перший доданок в підінтегральною вираженні перетворюється в нуль. Другий доданок завжди позитивний, як квадрат бівектора . Третє складова може бути як позитивним, так і негативним. Зокрема в плоскому просторі тензор Рімана дорівнює нулю R i j k l = 0, тому друга варіація завжди позитивна, а значить будь-який відрізок геодезичної є локально найкоротшою лінії. Якщо ж третій доданок негативний, то може статися, що поблизу геодезичної лінії можна провести іншу лінію (конечно не хвилясту!), Яка буде коротше геодезичну. Прикладом служить дуга великого кола на одиничному двовимірної сфері (це геодезична лінія): якщо дуга коротша?, То вона є найкоротшим шляхом між двома точкамі- якщо дуга дорівнює?, То між двома точками (полюсами) можна провести багато однакових по довжині ліній (меридіанів ), якщо ж довжина дуги великого кола велика?, то кінцеві точки можна з`єднати дугою (вже не найбільшого) кола, близькою до геодезичної, яка буде мати меншу довжину.
Взагалі можна показати, що на будь-якому різноманітті досить короткий відрізок геодезичної є найкоротшим шляхом (на одиничній сфері досить короткий означає менше?).
Рівняння геодезичної для довільного параметра
Формула (6) справедлива для натурального параметра (тобто параметра довжини лінії), або для параметра пропорційний довжині лінії з одним і тим же коефіцієнтом пропорційності в усіх точках лінії. Але нам може знадобитися також і не натуральний параметр геодезичної лінії, наприклад якщо на двомірному різноманітті (поверхні) задані координати x, y і ми шукаємо рівняння геодезичної в формі y = y (x).
Похідні по параметру t будемо позначати крапкою вгорі. Маємо такий зв`язок з похідними по натуральному параметру:




Підставляючи ці похідні в формулу (6) і домножуючи на , отримаємо:





Зауважимо, що формула (13), не на етапі щодо других похідних, оскільки друга похідна координат входять в .
Геодезична лінія на поверхні z = z (x, y)
Виберемо на поверхні, заданої рівнянням z = z (x, y) координати [thumb = left] https://mir-prekrasen.net/uploads/posts/2011-02/1298134039_42387d3cb0ff4ab2b2988d5c2560b4114c.jpg [/ img]. Квадрат елемента довжини запишеться (приватні похідні позначаємо індексом внизу [img = left] https://mir-prekrasen.net/uploads/posts/2011-02/1298134035_43c3652d7bdecb33f1ef3494853d9017eb.jpg [/ thumb]):



Звідки метричний тензор:

[Img = left] https://mir-prekrasen.net/uploads/posts/2011-02/1298134007_45078fbe2a51998030d141a31ee7a5ffd1.jpg [/ img]

Цей тензор має два власних вектора: z i і ортогональний до нього a i. маємо:



де власне число



Для ортогонального вектора a i власне число дорівнює одиниці:



Визначник метричного тензора дорівнює добутку двох власних чисел:



Оскільки вектор градієнта z i буде власним вектором для оберненої матриці g i j з власним числом , Те легко знаходяться і символи Крістоффеля з верхніми індексами:



Користуючись тільки що написаної формулою, ми можемо записати формулу (13) геодезичної лінії, з параметром t = x = u 1, зауваживши:



Таким чином маємо два рівняння:




Де введено позначення:



обчислюючи можна показати, що ривняння (15) і (16) еквівалентні між собою, і еквівалентні простому рівнянь, яке утворюється при відніманні від (16) рівняння (15), домноженого на похідну y `.



звідки





Увага, тільки СЬОГОДНІ!