Метричний тензор

Відео: Загальна теорія відносності | диференціальна геометрія | поверхні | метричний тензор

Величини, які стосуються геометрії - це відстані, довжини кривих, площі і обсяги (в тому числі m-мірні обсяги) геометричних фігур, а також кути між векторами, прямими і т.д. Розглянемо спочатку прямокутну декартову систему координат в n-вимірному просторі. Як відомо з аналітичної геометрії, квадрат відстані між двома точками A і B дається наступною формулою, яка є узагальненням теореми Піфагора:



де індексами внизу позначено, до якої точки дана координата відноситься.
Ми не можемо безпосередньо поширити формулу (1) на вимір довжин кривих (оскільки довжина залежить не тільки від положення двох крайніх точок, а й від стану всіх проміжних точок), а також для вимірювання всередині кривих різноманіття (оскільки в них навіть не існує декартової системи координат). Але в обох цих випадках аналогічну формулу ми можемо написати для двох нескінченно близьких точок. Позначимо їх є P з координатами [thumb = left] http: //mir-prekrasen.netimages/1298134010_14ee48c746b63b12863830ae5a0b295ae.jpg [/ img] і точка P `З координатами [img = left] https://mir-prekrasen.net/uploads/posts/2011-02/1298134017_3a84d0b39c8916d8f1f02acc503861134.jpg [/ thumb]. Відстань між цими точками позначимо d s, тоді формула (1) в нових позначеннях (диференціалах) перепишеться так:

[Img = left] https://mir-prekrasen.net/uploads/posts/2011-02/1298133995_42adf6cedc187b5138d1e437aa8c6c1a7.jpg [/ img]

Якщо від прямокутної декартової системи координат перейти в будь-яку іншу, в загальному випадку криволинейную, то вид формули (2) як суми квадратів не збережеться. Позначимо координати нової системи . Тоді диференціали старих і нових координат пов`язані формулами:



і для квадрат а відстані (2) ми отримуємо квадратичну форму щодо диференціалів нових координат:

Sum_ {i = 1} ^ n sum_ {j = 1} ^ n sum_ {k = 1} ^ n left ({partial x ^ i over partial u ^ j} du ^ j right) left ({partial x ^ i over partial u ^ k} du ^ k right) = sum_ {j, k = 1} ^ n g_ {jk} du ^ jdu ^ k "src =" http: / / upload.wikimedia.org/math/7/6/ 9 / 7694a278a7595f510032fb40e86df89e.jpg "

де коефіцієнти g j k дорівнюють сумі:



У формулах (3), (4) усі суми беруться за індексами, що повторюються в межах від першого (1) до останнього індексу (N). Тому для спрощення виду формул доцільно в цих формулах не писали знак суми (правило Ейнштейна). При використанні правила Ейнштейна формула (4) запишеться так:



нехай маємо N-мірний евклидово простір з координатами . Радіус-вектор точки позначимо через :



Розглянемо в цьому просторі n-мірний різноманіття, заданий параметрично через . Точки многовидах визначаються через деякі функції радіус-вектора від цих параметрів:



Тоді дві близькі точки многовидах утворюють вектор зміщення:



а квадрат відстані дорівнює скалярному квадрату вектора зміщення:



Тобто ми знову отримали формулу (6), але коефіцієнти даються іншими ніж (5) по виду, але аналогічними формулами:



Дійсно, розписавши скалярний твір в (11) як суму попарних творів компонент векторів і . Рівність досягається, коли різноманіття є евклідовому простором, яке вміщено сам в себе.
Нехай на різноманітті задано ще одну (нову) систему координат , Координати якої ми позначимо капелюшками, щоб відрізнити від старої системи координат. Ясно, що існує взаємно-однозначна відповідність між старою і новою системою координат за посередництвом точок різноманіття. А саме, набір яких n чисел задає деяку точку P на різноманіття, а ця точка P має координати в новій системі координат. Це відповідність ми можемо записати через набір функцій:



виражають нові координати через старі. Оскільки це відповідність взаємно-однозначне, то і навпаки, нові координати можна виразити через старі:



Ми будемо вважати ці функції мають похідні. Тоді диференціали цих координат (для двох нескінченно близьких точок) пов`язані формулами:



Підставляючи (14) в (6), знаходимо:



і коефіцієнти метрики в новій системі координат рівні



З цієї формули ми бачимо, що коефіцієнти метрики утворюють двічі коваріантний тензор.
Маючи метричний тензор g i j, ми можемо обчислювати все геометричні характеристики фігур, що знаходяться всередині різноманіття. Нехай наприклад заданий криву лінію в параметричної формі u i = u i (t). Тоді ми можемо обчислити довжину дуги цієї кривої (при зміні параметра t в межах відрізка [A, b]), сумуючи відстані всіх сусідніх точок і переходячи до інтеграла:



Далі, ми можемо обчислювати скалярні твори стосуються різноманіття векторів. Нехай задані два дотичні вектори і . Розкладемо їх по базису системи координат:



тоді їх скалярний добуток дорівнює:





Маючи скалярний твір, ми можемо обчислювати довжини векторів:



і кути між двома векторами:



Цю ж формулу можна використовувати для обчислення кута між двома кривими в точці перетину. Для цього в (21) треба підставити дотичні вектори до цих кривих.
Далі, пошук найкоротшого кривої між двома точками різноманіття призводить до рівняння геодезичної лінії, яке з очевидністю залежить тільки від метричного тензора g i j і його похідних за координатами. Геодезична лінія є аналогом прямої в евклідовому просторі. З відрізків геодезичних ми можемо конструювати трикутник та інші закнені і незакриті ламані. Вміючи шукати кути між кривими по формулі (21), ми можемо визначити кути геодезичного трикутника, і як вони залежать від довжин сторін (формула (17) для геодезичних).
Далі, ми можемо обчислити площу паралелограма, побудованого на векторах і :



де введено позначення метричної матрьошки (Дивіться також статтю Одиничний антисиметричний тензор):



Маючи яку гладку двовимірну поверхню F всередині різноманіття, ми можемо розбити її на маленькі паралелограми, і скориставшись формулою (22) знайти площу кожного з цих паралелограмів. Додаючи всі ці площі, і переходячи до інтегрування, ми очевидно можемо знайти площу всієї поверхні F.
Аналогічно ми можемо m-мірний обсяг будь-якого m-мірного підмноговиди ( ), В тому числі обсяг самого різноманіття:



де буквою g позначено визначник метриці метричного тензора:



Аналогічно геодезичної лінії, ми можемо розглядати мінімальні різноманіття вищих розмірностей. Наприклад, ми можемо "натягнути" мінімальну двовимірну поверхню на трикутник, складений з відрізків геодезичних - і таким чином обчислити площу цього трикутника.
Далі, вимірюючи відрізки геодезичних, ми можемо говорити про відстань між двома віддаленими точками різноманіття. Користуючись поняттям відстані, ми можемо розглядати такі геометричні об`єкти як куля і гіперсфера всередині многовидах з центром в якій точці цього різноманіття.
Оскільки метричного тензора виявляється досить, щоб обчислювати різні властивості фігур усередині різноманіття, ми можемо абстрагуватися від зовнішнього евклідового простору (розмірності з одним верхнім і одним нижнім індексами. У старій системі координат координати цього тензора утворюють одиничну матрицю:



Обчислимо координати цього одиничного тензора в новій системі координат . Маємо тензорними правилами:



оскільки матриці переходу між цими системами координат



є взаємно зворотними матрицями.
Формула (27) показує, що компоненти тензора утворюють одиничну матрицю не тільки в старій, а взагалі в будь-якій системі координат. Постає питання, які ще тензори ми можемо утворити, маючи метричний тензор g i j і одиничний тензор ? Додавати ці тензори покомпонентно ми не можемо, оскільки вони по-різному змінюються при заміні координат. Звернемося до алгебри матриць. маючи матрицю



Можна перевірити, що з усіх таких функцій тільки пряма пропорційність і зворотна пропорційність утворюють тензор - тобто правильно змінилися після зміни координат:



Ясно, що зворотна матриця G - 1 перетворюється за законами двічі контраваріантний тензор. Цей тензор прийнято позначати тієї ж буквою g i j, що і метричний тензор g i j, але з двома верхніми індексами і називати зворотним метричним тензором. З визначення маємо:



Метричний тензор разом зі своєю зворотною дозволяє встановити еквівалентність між коваріантний і контраваріантний тензор. Це здійснюється за допомогою формули опускання індексів з згортку з метричним тензором, напрікдад:



і підняття індексів з згортку з зворотним метричним тензором, наприклад:



оскільки тензори g i j і g i j взаємно зворотні (формула 31), то після послідовного застосування двох операцій: підняти індекс потім опустити, або навпаки, опустити індекс потім підняти - ми повернемося до оригінального тензора, який був на початку, наприклад:



Підйому і опускання індексів за допомогою метричного тензора називається жонглюванням індексами. В результаті підйому одного індексу в самому метричного тензора g i j ми отримаємо одиничний тензор :



Піднявши ще один індекс метричного тензора, ми прийдемо до зворотного метричного тензора:



З формул (35) і (36) ми бачимо, що з точністю до жонглювання індексів тензори g i j, і g i j представляють один і той же тензор. Так що ми зробили розумно, позначивши звернений метричний тензор g i j тієї ж буквою g, що і метричний тензор g i j. Порівняємо формули підняття двох індексів для довільного тензора a i j і для метричного тензора g i j:





Коварінтна похідна тензора дається формулою:



Обчислимо спочатку коваріантна похідну одиничного тензора:



Як бачимо, ця похідна дорівнює нулю завжди, не тільки для символів Крістофеля, але і для більш загального випадку коефіцієнтів афінної зв`язності. Перейдемо тепер до метричного тензора. У охоплює евклідовому просторі друга похідна радіус-вектора розгладаеться на дотичну до многовидах складову, і на ортогональну :

Mathbf {b} _ {ij} "src =" https://upload.wikimedia.org/math/3/3/1/331...5099a920eb8.jpg "

домножуючи обидві частини цього рівняння скалярно на вектор , отримуємо:



Звідси маємо для приватних похідних метричного тензора формулу:



Користуючись рівнянням (42), знаходимо коваріантна похідну метричного тензора:



Отже коваріантні похідні метричного тензора g i j і одиничного дорівнюють нулю. Це також означає, що ці тензори перестановочне із позначкою коваріантною похідною :



Перевіримо для повноти картини, коваріантна похідна зворотного метричного тензора g i j також дорівнює нулю:



метричний тензор g i j можна розглядати як набір функцій від координат . Оскільки ми можемо брати різні системи координат для одного і того ж різноманіття, то ми будемо мати і різний набір функцій. Це еквівалентно тому, як ми можемо сфотографувати один і той же предмет під різними ракурсами. У загальному випадку задача розпізнати на двох фотографіях один і той же об`єкт виявляється занадто складною для комп`ютера, універсальний алгоритм розпізнавання ще невідомий. Те ж з метричним тензором - маючи два набори функцій, ми не можемо відразу сказати, чи становлять вони один і той же різноманіття в різних системах координат. Але в двох випадках цей аналіз виявляється нескладним.
Простір постійної кривизни
Перший випадок - це простір постійної кривизни, в якому тензор Рімана пропорційний метричній матрьошці четвертого рангу з постійним коефіцієнтом пропорційності K:



Ми можемо перевірити для двох наборів функцій , І задовольняють вони рівняння (46) з одним і тим же коефіцієнтом K. Продовжуючи аналогію з фотографіями, це еквівалентно, що ми маємо дві рівномірно засвічені фотографії, всі пікселі бітмапами дорівнюють одному і тому ж числу.
Мала деформація системи координат
Другий випадок - коли система координат зміщується на малий вектор v i:



Трохи зміщення означає, що ми можемо розкласти функції метричного тензора в ряд Тейлора і обмежитися лінійним членом:



Знайдемо варіацію компонент метричного тензора (різниця функцій при одних і тих самих аргументах):



Підставами (49) в (48):



Далі, запишемо формулу заміни координат:



Матриці переходу для функцій (47) легко обчислюються:



Розкриємо дужки, зберігаючи лише постійні і лінійні по v i складові. Після скорочень отримуємо:



звідки



Ця формула застосовується для виведення лінеаризовані рівняння Ейнштейна в теорії гравітації. Аналогом цього випадку в машинній обробці зображень є алгоритм лінійного стеження за рухомими об`єктами по двох суміжних кадрах відеокамери. Дана аналогія лише концептуальна, формули виходять різні.
Метричний тензор допускає узагальнення, коли ми не обмежуемся дійсними позитивно-визначеними матрицями - Псевдометріка
У псевдометріці більшість формул внутрішньої геометрії залишаються незмінними - і ми можемо розглядати поняття геодезичної лінії, коваріатного диференціювання, тензора Рімана. Але невизначеність знаків вносить корективи в інтерпретацію цих понять. Зокрема геодезична лінія не є найкоротшою, і поняття відстані стає складніше ніж в Евклідовому випадку (корінь з від`ємного числа). Вивчення псевдометріки збуджується властивостями фізичного простору, в якому ми живемо - дивіться статтю Метрика простору-часу

Увага, тільки СЬОГОДНІ!