Метрика простору-часу

Відео: Геометрія простору всесвіту. Частина 1. # простір

Схематичне двовимірних зображень викривлення простору-часу близько масивного тіла Метрика простору-часу - 4-тензор, який визначає властивості простору-часу в загальній теорії відносності.
позначається основному g i j.
В інерціальній системі відліку матриця метричного тензора простору-часу має вигляд

.

У неінерційних системах відліку вигляд метрики простору-часу змінюється і взагалі залежить від точки простору і моменту часу.
Метрика простору-часу задає викривлення простору, яке відчуває спостерігач, який рухається з прискоренням. Оскільки за принципом еквівалентності спостерігач ніяким чином не може відрізнити неінерційність пов`язаної з ним системи відліку від гравітаційного поля, то метрика простору-часу визначає також викривлення простору в поле масивних тіл.
Простір-час виражається через метрику простору-часу формулою

.

Оскільки метрика задає перетворення координат, то її називають також метричним тензором.
Метрика простору-часу використовується для встановлення зв`язку між коваріантних і контраваріантних записами будь-якого 4-вектора



.

Метричний тензор симетричний щодо своїх індексів, тобто g i j = g j i. Це видно із загальної формули для квадрата диференціала просторово-часового інтрервалу. Детермінант метрики простору часу, який позначається g, негативний.
Контраваріантний форма метричного тензора пов`язана з коваріантною за допомогою повністю антисиметричного тензора четвертого порядку

,

де e i j k l - звичайний повністю антисиметричний тензор, визначений в інерційної системі відліку, тобто тензор, компоненти якого рівні 1 або -1 і змінюють знак при перестановці будь-яких двох індексів.
Таким чином



Метричний тензор, як будь-який симетричний тензор, можна вибором системи відліку звести до діагонального вигляду. Однак ця операція справедлива лише в певній точці простору-часу, і, в загальному випадку, не може бути проведена для всього простору-часу.
Квадрат диференціала просторово-часового інтервалу для однієї просторової точки дорівнює



d s 2 = g 00 (D x 0) 2 = c 2 d ? 2,

де c - швидкість світла у вакуумі.
величину



називають власним часом для даної точки простору.
Квадрат відстані між двома нескінченно близькими точками задається формулою



Грецькі індекси використовуються тоді, коли підсумовування ведеться тільки по просторовим координатам. Тензор? ?? є метричним тензором для тривимірного простору.
Інтегрувати певну таким чином відстань не можна, так як результат залежав би від світової лінії, по якій велося б інтегрування. Таким чином, в загальній теорії відносності поняття відстані між далекими об`єктами в тривимірному просторі не має сенсу. Єдиний виняток - ситуація, в якій метричний тензор g i j не залежить від часу.

Увага, тільки СЬОГОДНІ!