Тензор енергії-імпульсу

Відео: Загальна теорія відносності | тензор енергії імпульсу | калібрування

Тензор енергії-імпульсу - симетричний 4-тензор, визначений у просторі-часі, який одночасно задає щільність енергії і її потоків і визначає закон зміни цих величин при переході від однієї системи відліку до іншої.
Тензор енергії-імпульсу в загальному випадку має вигляд:



де W - щільність енергії, S i - потік енергії в напрямку, що задається координатою i, , Де? i j - тензор в звичайному просторі, яке називають тензором напружень.
Для тензора енергії-імпульсу справедливе співвідношення

,

яке є локальним виразом законів збереження енергії та імпульсу.
Очевидна також симетрія тензора енергії-імпульсу T i j щодо перестановок індексів. Це властивість висловлює локальний закон збереження моменту імпульсу.
Значення тензора енергії-імпульсу в тому, що він входить в основний рівняння загальної теорії відносності - рівняння Ейнштейна, і, таким чином дозволяє доповнити ці рівняння рівннями стану речовини.
У класичній механіці рух безперервного речовини описує гідродинаміка і теорія пружності твердих тіл. Кожна частинка речовини в точці 3-мірного простору (X, y, z) і в певний момент часу t описується щільністю:



а також швидкістю в цій точці:



і тензором напруг? ??, що описує силове взаємодія частинки речовини з сусідніми частинками.



У разі рідини або газу, тензор напружень діагональний і виражається через тиск p формулою:



Оскільки речовина "розмазана" в просторі, виділимо в який момент часу (t = t 0) елемент обсягу? V. Розмір чотири-вектора енергії-імпульсу? p ? для частини речовини, яка потрапила в цей обсяг, пропорційна самому обсягу з деякими коефіцієнтами пропорційності :



Ліва частина цього рівняння є чотири-вектором. Досліджуємо, з точки зору тензорного аналізу, що собою являє твір в правій частині рівняння.
Почнемо з тривимірного об`єму? V, представивши його у вигляді паралелепіпеда, побудованого на трьох векторах . Ці вектори можна вважати чотири-векторами, з нульовою першої (тимчасової) координаті. Обсяг є величиною тензора третього рангу, складений зовнішнім твором цих векторів:



Користуючись одиничним антисиметричних тензором, ми можемо також скласти дуальний чотири-вектор:



де g - детермінант метричного тензора.
У цій формулі множник уявної одиниці введено для того, щоб компоненти вектора? V ? були дійсними числами. Величина цього вектора дорівнює обсягу? V, а напрямок ортогональний до складових векторів . Тобто в обраній системі координат він спрямований уздовж осі часу:



Тепер ми можемо, змінюючи при необхідності позначення коефіцієнтів переписати формулу (7) так:



У цій формулі ми спочатку вели ще один індекс "нуль" в позначенні коефіцієнтів, а потім чисто формально додали ще три нульові доданки (оскільки згідно (10) просторові компоненти вектора? V дорівнюють нулю).
Права частина формули (11) має вигляд добутку швидкості світла на згортку тензора другого рангу з вектором. позначимо тензор і назвемо його тензором енергії-імпульсу. Тоді чотири-вектор енергії-імпульсу речовини, яка потрапила в елемент обсягу? V, згідно з формулою (11) запишеться у вигляді згортки тензора енергії-імпульсу з чотірівектором обсягу:



Розписуючи покомпонентно формулу (12) і враховуючи (6) знаходимо, що якщо? = 0




тобто верхній лівий елемент матриці T має сенс щільності енергії.


Тепер прирівняємо індекс? однією з просторових координат, наприклад? = 1. Тоді



Звідки ми можемо висловити T 10 двома способами, враховуючи зв`язок імпульсу з масою? p 1 =? m v 1 і формулу Ейнштейна? E =? m c 2:



Відповідно маємо два трактування компоненти T 10: або щільність проекції імпульсу, помножена на швидкість світла, або потік енергії в напрямку осі абсцис, розділений на швидкість світла.
У класичній механіці сукупний імпульс системи фізичних тіл і електромагнітного поля зберігається, тобто не змінюється з часом. Те ж стосується енергії, якщо розглядіти дію тільки консервативних сил. Спробуємо з`ясувати, як ці закони збереження відображаються в теорії відносності на властивостях тензора енергії-імпульсу.
Почнемо з того, що енергія і імпульс утворюють чотири-вектор (6). Операцію складання двох просторово-рознесених векторів можна здійснити, зробивши паралельне перенесення одного вектора в точку знаходження іншого. Така операція буде однозначним тільки для плоского простору, з нульовим тензором Рімана. Отже почнемо з розгляду невеликий, обмеженою в просторі механічної системи, гравітаційним полем якої (а отже і викривленням простору) можна знехтувати. Для цього треба, щоб всі маси тіл були досить малими. Систему координат будемо вважати прямокутна декартова.
Виберемо фіксований момент часу t = t (1) i знайдемо спільну чотири-вектор енергії-імпульсу системи, інтегрувати формулу (12) по всьому тривимірного простору (який є гиперплоскостью в чотиривимірному просторі-часі):



В інший момент часу t = t (2) чотири-вектор енергії-імпульсу залишиться незмінним, і нульову різницю ми можемо записати у вигляді інтеграла по чотиривимірному прошарку між двома гіперплоскостямі:



В останньому інтегралі диференціал d ? єінваріантні елементом чотиривимірного обсягу (Див. Інтегрування за обсягом многовидах):



Оскільки всі фізичні закони повинні носити тензорний характер (а значить не залежати від вибору системи координат), то і підінтегральна функція в правій частині (17) ми повинні замінити істинний скаляр:



диференційний оператор (Називається "Набла" або коваріантна похідна, див. Статтю Диференціальна геометрія) визначено навіть для кривого простору формулою:



У разі метрики Мінковського:



метричний тензор виражається діагональною матрицею з постійними коефіцієнтами, тому символи Крістофеля у формулі (20) дорівнюють нулю, ніж ми і скористалися в перетвореннях формули (19).
Перевіримо, що "зайві" три складові в (19) не псують рівності (17). Оскільки наша механічна система обмежена в тривимірному просторі, то ми можемо взяти чималий тривимірний прямокутний паралелепіпед:



в якому повністю поміщається система в розлядуваному інтервалі часу ( ). Це зокрема означає, що за межами паралелепіпеда P (А також на його стінках), тензор енергії-імпульсу T i j разом зі своїми похідними перетворюється в нуль. Тому замість формули (17) ми можемо обмежити область інтегрування паралелепіпед P і перейти від кратного до повторного інтеграла:



Якщо ми в самий внутрішній інтеграл (23) підставимо останній доданок формули (19), то отримаємо нуль:



де інтегрування проводиться в чотиривимірному просторі між двома тривимірними гіперплоскостямі.
Формулу (25) можна застосовувати в кривому просторі: по-перше вектори у віддалених точках можна додавати внаслідок неоднозначності паралельного перенесення векторів, а по-друге, неясно чим можна замінити паралельні гіперплощини в кривому просторі.
Крім того, інтегральний закон збереження не накладаються інтуїтивно-зрозумілого обмеження на рух матерії: вона, а також енергія і імпульс, не може перескакувати з однієї точки простору в віддалену точку, вони можуть лише плавно "перетікати" через сусідні точки простору. Наприклад енергія не може потрапити з електростанції в лампочку через обірвані дроти. Цим ми словесно описали локальність законів збереження енергії-імпульсу.
Звернемося до формул. В деякій точці (можна спотвореного) простору-часу виберемо систему координат O t x y z, що є Декартовой в даній точці, і в ній задамо маленький (порівняно з радіусами кривизни простору і координатних ліній) чотиривимірний прямокутний паралелепіпед:



і запишемо формулу Остроградського-Гаусса для дивергенції тензора енергії-імпульсу в цьому паралелепіпеді:



в цій формулі через позначена тривимірна "поверхня" паралелепіпеда P, що складається з восьми "граней", а інтегрування по цій поверхні враховує напрямок вектора нормалі, який спрямований назовні паралелепіпеда P.


Дві грані, які ми для наочності назвемо "дном" і "кришкою", є паралелепіпедами в тривимірному просторі x y z, взятими відповідно в момент часу t (1) і t (2). Тензор енергії-імпульсу б тікає всередину паралелепіпеда через "дно" і випливає через "кришку". Різниця інтегралів за цими двома "гранях" має сенс зміни чотири-вектора енергії-імпульсу в обсязі? x ? y ? z за час ? t



Очевидно, це зміна має потрапити в тривимірний обсяг? x ? y ? z через поверхню цього обсягу.
Розглянемо приплив енергії через грань x = x (1) площею? y ? z за інтервал часу? t:



де S x - щільність потоку енергії в напрямку осі абсцис. Порівняємо цей вираз з поверхневим інтегралом в правій частині формули (27) за відповідною тривимірної "бічний" грані паралелепіпеда P:



Ми можемо визначити компоненту тензора енергії-імпульсу



так, щоб формули (29) і (30) відповідали один одному. З формул (15) і (30) слід симетрія частини компонент тензора енергії-імпульсу:



Тепер розглянемо приплив імпульсу через цю саму грань x = x (1) площею? y ? z. Він складається з двох складових: по-перше, через цю грань протікає матерія масою:



яка переносить з собою імпульс:



і по-друге, через цю грань діє момент сили від сусідньої комірки простору через внутрішні напруги речовини (тиск):

p_i ^ {(2)} = F_i Delta t = sigma_ {i1} Delta y Delta z Delta t "src =" https://upload.wikimedia.org/math/7/6/c/76c...f8b18e7191d738a. png "

Сумарний потік імпульсу прирівняємо до потоку відповідної компоненти тензора енергії-імпульсу:



Таким чином, ми вже визначили всі компоненти тензора Енегрія-імпульсу через величини класичної механіки, просторова частина цього тензора дорівнює:



З цієї прив`язки і локального закону збереження енергії-імпульсу випливає, що "поверхневий" інтеграл в лівій частині (27) дорівнює нулю. оскільки паралелепіпед P може бути розміщений в будь-якій точці простору-часу і може бути нескінченно малим, з рівності нулю правій частині (27) випливає, що всюди дивергенція тензора енергії-імпульсу дорівнює нулю:



З виразу для компонент тензора енергії-імпульсу ми бачимо, що цей тензор вийшов симетричним. І це не випадково. Розглянемо наступний антисиметричний тензор другого рангу в плоскому просторі Маньківського (або в такій малій області викривленого простору, щоб кривизну можна вуло не враховувати):



Просторові компоненти цього тензора, очевидно, рівні проекція класичного вектора моменту імпульсу:



Покажемо, що якщо інтеграл в правій частині (39) поширити на всю "поверхню" чотиривимірного паралелепіпеда, то в результаті отримаємо нуль. Дійсно, поверхневий інтеграл перетворюється в інтеграл від дивергенції:



а дивергенція перетворюється в нуль внаслідок (38) і симетрії тензора енергії-імпульсу:

Delta ^ k_j T_ {ik} nabla ^ k T_ {ik} = delta ^ k_i T_ {jk} delta ^ k_j T_ {ik} = T_ {ji} - T_ {ij} = 0 "src =" http: // upload .wikimedia.org / math / b / 7/2 / b72ad232a2c5ff2e673bf58b574a4924.jpg "

Рівність нулю "поверхневого" інтеграла в лівій частині (41) можна, аналогічно тому, як це було з локальним законом збереження енергії-імпульсу, трактувати так: зміна моменту імпульсу в якій області простору можлива лише внаслідок протікання моменту імпульсу через кордон цієї області.

Увага, тільки СЬОГОДНІ!