Різноманіття

Відео: Різноманіття життя. серія "Людина". частина I

різноманіття - це об`єкт, який локально має характер метричного простору розмірності n. Він має цілочисельних розмірність, яка вказує скількома параметрами (координатами) можна описати околиця довільної точки різноманіття. Ідея різноманіття полягає в тому, що геометрія гладкої поверхні «в малому», тобто в околиці кожної її точки, нагадує геометрію Евклідовій площині. формально: n-мірний різноманіття - це Гаусдорфів топологічний простір в якому будь-яка точка x має околиця гомеоморфними відкритої n-мірний кулі:



Завдання топологічного відображення f x, званих картами (На кшталт карт земної поверхні), є частиною структури різноманіття, а сукупність всіх карт називається атласом. Якщо виконується додаткова вимога, що різні карти узгоджені між собою диференціюються чином, а саме, якщо відображення між досить малими відкритими множинами n-мірного евклідового простору (визначені лише для деяких пар (X, y)) не тільки безперервні, а й гладкі, то маємо справу з гладким різноманіттям.


Різноманіття вищих розмірностей узагальнюють лінії і поверхні, хоча звичайна уява тут вже не працює.





Завдання метричного тензора g i j дозволяє знаходити відстань між двома нескінченно близькими точками, а також інтегрувати (скалярний поле) по підмноговиди, наприклад уздовж кривих, що проходять всередині різноманіття, або за обсягом самого різноманіття.
Інтегрувати векторні і тензорні поля так просто, як скаляр, не можна - через некомутатівність паралельного перенесення векторів (якщо тензор внутрішньої кривизни ненульовий). Наприклад, ми не можемо точно обчислювати повну силу, діючу на протяжне тіло в загальній теорії відносності.
Якщо скаляр всюди дорівнює одиниці, то ми можемо знаходити довжини кривих і k-мірні обсяги k-мірних підмноговиди ( , де n - розмірність многовидах). Особливий інтерес представляють підмноговиди мінімального обсягу, зокрема коротка лінія, що з`єднує дві точки многовидах (геодезична лінія).
В околиці будь-якої точки многовидах можна задати майже декартові координати такі, що початок координат буде в цій точці, метричний тензор буде одиничним, і все перші похідні метричного тензора (або, що еквівалентно, все символи Крістоффеля) дорівнюють нулю. Другі ж похідні можна зробити нульовими далеко не завжди, для цього необхідно (і достатньо), щоб тензор Рімана дорівнює нулю. Якщо тензор Рімана тотожно дорівнює нулю в деякій зв`язковий області різноманіття, то в цій області можна побудувати декартові координати (з метричним тензором рівній одиничної матриці g i j =? i j), отже внутрішня геометрія такого різноманіття збігається з геометрією евклідового простору (хоча при погляді зверху цей різноманіття може бути, наприклад, циліндром).
Розгляд кривизни многовидах виявляється набагато простіше для гіперповерхонь, коли різноманіття вкладений в евклідів простір на одиницю більшої розмірності. Практично важливим випадком гіперповерхні є двовимірні різноманіття в тривимірному просторі.

Увага, тільки СЬОГОДНІ!