Диференціальна геометрія

Відео: Диференціальна геометрія

Диференціальна геометрія - це математична дисципліна застосовує методи математичного аналізу для вивчення гладких кривих, поверхонь і, в загальному вигляді, їх n-мірних аналогів, які називаються різноманіття. До ґрунтових понять диференціальної геометрії відносяться дотична і площину, довжина, площа, а також кривизна ліній і поверхонь.
Можна розглядати різноманіття розмірності n ззовні, як підмножина в евклідовому просторі більшої розмірності N. Задамо декартову систему координат x 1, x 2, ... x N в охоплює евклідовому просторі, а сам різноманіття параметрізуется змінними u 1, u 1, ... u n. На прикладі таких різноманіть як коло або сфера, бачимо, що не завжди можна вибрати таку параметризацію, щоб взаємно однозначно покрити нею весь різноманіття. Для одиничного кола на площині маємо:




і при збільшенні u на 2 ми повторно параметрізуется ту ж точку різноманіття.
Цю проблему можна обійти, розбивши різноманіття на шматки, частково перекриваються подібно атласу карт Землі. У кожному зі шматків вводимо свою параметризацію (яку будемо також називати системою координат). В областях, перекриваються, ми одночасно дві або більше системи координат. Основною вимогою до формул диференціальної геометрії є їх інваріантність щодо заміни координат на різноманітті.
Позначимо радіус-вектор в охоплює просторі:
Для точок різноманіття цей радіус-вектор залежить від локальних параметрів:
Похідні радіус-вектора за параметрами: утворюють базис в афінному просторі, дотичному до многовидах в даній точці. При переході до іншого параметризації (зміни локальної системи координат), маємо новий базис, який виражається через старий по тензорним правилами:



У цій формулі і далі за однаковими індексами, один з яких знаходиться вгорі, а другий внизу,
проводиться додавання (правило Ейнштейна, цей процес називається сверткой за індексами).
Знайдемо квадрат відстані d s між двома близькими точками різноманіття:



Величини називаються компонентами метричного тензора (з нижніми індексами). Сукупність цих величин можна розглядати як матрицю з детермінантою g = det (G i j). матриця g i j симетрична і невироджених, і у всіх точках різноманіття. Зворотній матриця до метричного тензора позначається тією самою літерою g i j, але з верхніми індексами. З властивостей зворотних матриць маємо такі рівності:




Сам метричний тензор і все величини, які виражаються через його компоненти та їх похідні, відносяться до внутрішньої геометрії різноманіття, оскільки для їх визначення не потрібно виходити в охоплює евклидово простір. За допомогою метричного тензора можна піднімати і опускати індекси векторів і тензорів. Наприклад можна ввести дуальний базис в дотичному афінному просторі:



Для скалярних добутків векторів основного і дуального базисів маємо:



Можна також розлядати довільний дотичний до різноманіття вектор і розкласти його по базису і по дуальном базису:



Коефіцієнти називаються коваріантний координатами вектора, бо вони при зміні системи координат змінюються аналогічно базисних векторів у формулі (1):



аналогічні коефіцієнти a i називаються контраваріантний координатами вектора, бо вони перетворюються через зворотну матрицю переходу, аналогічно векторах дуального базису:



Інформацію про кривизну різноманіття може бути отримана з других похідних радіус-вектора, оскільки при переході в сусідню точки дотичні вектори кривого різноманіття повертаються разом з поворотом дотичного афінного простору. Розкладемо вектор охоплює простору на дві частини, паралельну і ортогональну до різноманіття:



У цій формулі паралельна частина розкладена по базису. Коефіцієнти розкладання називаються символами Крістофеля. З симетрії другої похідної випливає, що як символи Крістофеля так і вектори симетричні за індексами i, j:




Можна знайти символи Крістофеля, розглядаючи похідні від компонентів метричного тензора:



В останній формулі введено позначення символів Крістофеля з опущеними верхніми індесками:



З формули (10) можна знайти символи Крістофеля через похідні метричного тензора. Для цього запишемо формулу (10) ще двічі, переставляючи спочатку індекси i k а потім j k:




Додаючи (10a) i (10b), і віднімаючи (10) з урахуванням симетрії символів Крістофеля за першими двома індексами, отримуємо:



Отже символи Крістофеля поряд з метричним тензором є об`єктами внутрішньої геометрії многовидах:



Знайдемо, як перетворюється формула (8) при переході до іншої системи координат:


Звідси маємо для символів Крістофеля:



і для вектора:



Отже символи Крістофеля перетворюються не по тензорним правилами (за наявності формулою (14) в доданка другої похідної), для будь-якої точки різноманіття можна вибрати таку систему координат, щоб в даній точці символи Крістофеля перетворювалися в нуль.
Формулу (8) можна переписати в такому вигляді:



У цій формулі вираз в лівій частині називається коваріантною похідною (від коваріантного вектора), а сам значок називається "Набла". Також в цій формулі введено скорочене позначення для приватних похідних по координатам різноманіття:



З формули (15) видно, що результатом дії коваріантною похідною на вектор тензор другого рангу, оскільки ця величина () змінюється по тензорним правилами при переході до іншої системи координат. Для довільного коваріантного вектора a i ми отримаємо аналогічний результат:



теж перетворюється по тензорним правилам. Цей результат очевидний з огляду на те, що як a i так і змінюються через одну і ту ж матрицю переходу при заміні координат. Символи Крістоффеля у визначенні коваріантною похідною компенсують деякій мірі кривизну заданої (довільної кривої!) Системи координат. Поняття коваріантною похідною можна поширити на довільні тензори так, щоб результатом дії коваріантною похідною був тензор на одиничку вищого рангу (одним нижнім індексом більше), і для похідної твори тензорів і виконувалося звичайне для похідних правило:



Почнемо з скаляра (скалярного поля (u 1, u 2, ... u n)). Градієнт вже перетворюється за правилами коваріантного вектора при заміні координат:



Тому ми беремо його на визначення коваріантною похідною скаляра :. Тепер обчислимо коваріантні похідну контраваріантний вектора (з верхнім індексом) v i. Для цього продифференцируем скалярний твір нашого вектора v i з довільним коваріантний вектором a i (Цей твір є скалярним полем). З одного боку:



Крім того:



Віднявши від другого виразу першої маємо:



В останньому перетворенні ми зробили нехитру операцію - переставили місцями букви індексів i і k. Це можливо тому, що зміст згортки по двом однаковим індексам як суми, не залежить від того, якою буквою позначений індекс згортки. З огляду на, що вектор a i довільний (ніпріклад може бути паралельним одній з координатних осей a = 0,0, .. 1,0, .. 0), остання рівність може виконуватися тільки при такому ознаненні коваріантною похідною від контраваріантний вектора:



Тепер перейдемо до диференціювання тензорів вищого рангу. Почнемо для прикладу змішаного тензора другого рангу (з одним верхнім і одним нижнім індексом). Цей тензор перетворюется при заміні координат аналогічно твору двох векторів v i a j. Для добутку векторів маємо:



Так що і для тензора маємо аналогічно:



Таким же чином можна отримати загальну (і трохи громіздкий) формулу для диференціювання тензорів з будь-якою кількістю верхніх і нижніх індексів:



У цій формулі доданки з символами Крістофеля зустрічаються зі знаком плюс для кожного верхнього індексу тензора, і зі знаком мінус для кожного нижнього індексу тензора.
Тепер, маючи загальну формулу, знайдемо коваріантні похідну метричного тензора g i j:



Останню рівність ми записали, скориставшись формулою (10). Таким чином, метричний тензор поводиться як константа щодо коваріантною похідною - в формулах його можна переставляти з наблю (виносити за знак похідної)
Розглянемо криву лінію, що лежить в різноманітті. Точки кривої параметрізуется натуральним пораметрам s. Ми можемо дивитися на цю криву з двох точок зору. Якщо поглянути з різноманіття, то кожному значенню параметра s відповідає точка різноманіття, яка має координати u 1, u 2, ... u n, тобто:



Якщо ж дивитися з охоплює евклідового простору, то точки кривої задаються радіус-вектором, і ми можемо записати одиничний дотичний вектор до кривої, а також вектор кривизни кривої.
Очевидний зв`язок між цими двома точками зору



Знайдемо дотичний вектор кривої:





Отже, як це і очевидно, одиничний дотичний вектор кривої лежить в дотичному афінному просторі многовидах (розкладається по його базису), і має такі контраваріантний координати:



Тепер Займемося кривин. маємо:



Обчислимо окремо похідну в другому доданку:



Отже, знову перейменувавши індекси, за якими проводиться згортка, отримуємо такий вираз:



Отже вектор кривизни кривої розкладається на два ортогональних між собою вектори: вектор називається геодезичної кривин, він причетний до різноманіття, а вектор ортогональний до многовидах і залежить тільки від напрямку дотичної а не того, як крива викривляється всередині різноманіття. Легко показати, що вектор геодезичних кривизни також ортогональний до дотичній вектора кривої:



Його контраваріантний координати рівні:



Тепер ми можемо задатися питанням, яка лінія на різноманітті "рівних", тобто має найменшу кривизну. маємо:



Є кривизна лінії не може бути менше кривизну многовидах в даному напрямку. Рівність досягається тоді, коли крива має нульову геодезичну кривизну:



Вважаючи метрику заданою (тобто відомими функціїкоординат g i j = g i j (u), а отже і), ми отримуємо з (23) систему n звичайних диференціальних рівнянь другого порядку щодо n невідомих функцій u 1 (S), u 2 ( s ), ... u n (s):



Це рівняння можна вирішувати як завдання Коші, задавши початкову точку і одиничний вектор напрямку в цій точці. Це рішення завжди існує, якщо символи Крістоффеля є обмеженими безперервними функціями. Рішення цього рівняння приймемо за визначення геодезичної лінії. Ми вже бачили два властивості геодезичної лінії - ця лінія має нульову геодезичну кривизну, а також має найменшу кривизну в охоплює евклідовому просторі серед усіх кривих, що лежать на різноманітті і мають загальну дотичну. Геодезична лінія має ще дві важливі властивості: по-перше, дотичний вектор переноситься паралельно вздовж кривої, а по-друге, для двох досить близьких точок на різноманітті, найкорошою кривої на різноманітті, що з`єднує ці точки, є відрізок геодезичної лінії. Про останню властивість треба сказати два застереження - 1. в псевдо-евклідовому просторі (скалярний квадрат вектора може бути і позитивним і негативних) це можливо не так, але навіть в евклідовому просторі я не знаю докази позитивної визначеності квадратичної форми другої варіації 2. першої варіації довжини кривої дорівнює нулю на геодезичної, як в евклідовому, так і в псевдоевклідів простір. Далі, остання властивість допускає узагальнення на підмноговиди розмірності p = 2 ... n - 1. А саме ми можемо поставити "рамку", або край розмірності p - 1, і шукати різноманіття з цим краєм, який має мінімальну "площа" (подібно мильній плівці в рамці).
Для кривої на різноманітті ми мали:



Як бачимо, ця величина залежить тільки від напрямку одиничного вектора i, причому вона однакова для протилежних векторів i і - i, (Тобто залежить тільки від прямої, на якій лежать ці вектори). Можна розглядати і не тільки одиничні вектори, в цьому випадку формула (25) зміниться на:



Квадратичну форму називають першою, а g i j v i v j другий.
Як бачимо, вся інформація про кривизну многовидах міститься в векторах.
Кривизну многовидах можна помітити зсередини. Очевидно, що внутрішня кривизна повинна бути тензорною величиною, щоб не залежати від системи координат. Ми маємо два тензорних об`єкта внутрішньої геометрії - метричний тензор g i j і коваріантна похідну. Обмежуючись лише ними, ми нічого нового не отримаємо, оскільки коваріантна похідна метричного тензора дорівнює нулю (), тому розглянемо ще один об`єкт - (довільне) тензорне поле і будемо повторно застосовувати до нього коваріантна похідну У разі евклідового простору похідні за різними координатами коммутируют між собою :. Для кривого многовидах це властивість невірна. Позначимо за допомогою квадратних дужок комутатор коваріантних похідних (різницю між твором і перставленім твором):



Будемо рухатися від простого. Розглянемо скалярний поле (тензор нульового рангу).



Як бачимо, обидва доданки в останній сумі симетричні за індексами i, j. Тому:



Тепер розглянемо коваріантний вектор a i (Тензор першого рангу). Розпишемо другий коваріантна похідну:




В останній сумі ми виділили на початку суми два доданків (кожен з них взято в дужки), які симетричні за індексами j, k. В останньому доданку цієї ж суми можна переставити місцями індекси s, p за якими проходить згортка. Остаточно маємо для комутатора:



де введено позначення:



Оскільки в лівій частині формули (27) варто тензорна величина, і вектор a s є тензором першого рангу, то це означає, що і як тільки введена величина є тензором. Цей тензор вперше відкрив німецький математик Бернгард Ріман (1854).

Увага, тільки СЬОГОДНІ!