Міра безлічі

Відео: Теорія міри | 1

Неформально, міра - це функція, яка відображає безлічі на невід`ємні дійсні числа, при цьому, надбезліччю відображаються на великі числа, ніж підмножини. міра безлічі - загальна назва різних типів узагальнень понять евклідової довжини, площі плоских фігур і n-мірного об`ємного обсягу для більш загальних просторів.
Якщо протилежне не зазначено явно, то зазвичай мається на увазі лічильно-адитивна міра.
Поняття заходи виникло в теорії функції дійсної змінної, а звідти перейшло до теорії ймовірностей, теорії динамічних систем, функціонального аналізу та багато інших областей математики.
Звичайно-адитивна міра
Нехай задано простір X з виділеним класом підмножин, замкнутим щодо кінцевих перетинів і об`єднань. функція називається кінцево-адитивної міру, якщо вона задовольняє таким умовам:

-
якщо - кінцеве сімейство попарно НЕ перетінаючіхся множин з, тобто, то

.


альтернативне визначення
функція безлічі (A) називається заходом, якщо:
Система множин називається півкільцем, якщо вона містить порожня множина, замкнута по відносин до утворення зв`язків, і якщо з приналежності до безлічі A і випливає можливість подання безлічі A у вигляді об`єднання, де A k - попарно неперетінаючіхся безлічі с, перша з яких є задана безліч A 1.
Лічильно-адитивна міра
Нехай задано простір X з виділеної -алгебри. функція називається лічильно-адитивної (або -адитивної) мірою, якщо вона задовольняє наступним вимогам:

-
(-аддітівность) якщо - лічильно сімейство попарно НЕ перетінаючіхся множин з, тобто, то


.

продовження заходи
Міра називається продовженням заходів m, якщо і для кожного виконується рівність:

(A) = m (A)

При цьому для кожного ступеня m (A), заданої на деякому півкільця існує єдине продовження m `(A), має в якості області визначення кільце (тобто мінімальне кільце над).

Увага, тільки СЬОГОДНІ!