Натуральні числа

Відео: Математика. Натуральні числа: Прості і складені числа. Центр онлайн-навчання «Фоксфорд»

Натуральні числа можуть використовуватися для рахунку (одне яблуко, два яблука, три яблука, ...). Натуральні числа - числа, що виникають природним чином при рахунку. Це числа: 1, 2, 3, 4, ... У математиці безліч натуральних чисел прийнято позначати знаком Безліч натуральних чисел є нескінченним.
Існують два основні підходи до визначення натуральних чисел:
Негативні і дробові числа не є натуральними числами.
Існує нескінченна кількість натуральних чисел: для будь-якого натурального числа знайдеться інше натуральне число, більше його. Нуль, як правило, не відносять до натуральних чисел. (Хоча існують так звані французькі натуральні числа - це звичайні натуральні числа, плюс нуль.)
Поняття натурального числа, викликане потребою рахунку предметів, виникло ще в доісторичні часи. Процес формування поняття натурального числа тривав протягом усієї історії людства. На низькому етапі первісного суспільства поняття абстрактного числа не існувало. У свідомості первісної людини ще не сформувалося те спільне, що об`єднує наприклад, "три людини" і "три озера". Аналіз мов первісних народностей показує, що для рахунку предметів різного типу використовувалися різні словесні звороти. Слово "три" в контекстах "три людини", "три човни" передавалося по-різному. Такі іменовані числові ряди були дуже короткими і завершувалися неіндивідуалізованого поняттями "багато" (про велику кількість тих чи інших предметів), які також були званими, тобто висловлювалися різними словами для різних типів об`єктів, такими, як "натовп", "стадо", "купа" і т.п. Спочатку числові терміни мали більш якісний характер - відрізняли один, два і більше. Більше значення отримували додаванням. Наприклад, в австралійського племені річки Муррей, 1 - Енза, 2 - петчевал, 3 - петчевал-Енза, 4 - петчевал-петчевал. Але навіть такі здібності людство отримало після великого проміжку часу, в який могли користуватися лише з понять "один", "два" і "багато" (до сих пір збереглося плем`я, яке зупинилося на цьому етапу розвитку вмінь числового абстрагування).
Джерелом виникнення поняття абстрактного числа була примітивна Рахунок предметів, заснована на зіставленні предметів даної сукупності предметів певної сукупності, мала роль еталона. У більшості народів першим таким еталоном були пальці ( "Рахунок на пальцях"), безпосередньо підтверджується мовознавчих аналізом назв перших чисел. На цьому етапі число стає абстрактним, незалежним від якості об`єктів рахунку, але в той же час пов`язаних з природою сукупності-еталону. Розширення потреб рахунки спонукало людей користуватися з інших еталонів рахунку, наприклад, зарубок на паличці. Для фіксації порівняно великих чисел стала використовуватися нова ідея: позначення деякого певного числа (у більшості народів - десяти) новим знаком, наприклад, засечкой на інший паличці.
З розвитком писемності відтворення чисел значно розширилися. Спочатку числа стали позначати рисками на матеріалі, який служив для запису (папірус, глиняні таблички і т.д.). Потім були введені інші знаки для великих чисел. Вавилонські клинописні позначення чисел, а також "римські цифри", які збереглися до наших днів, ясно свідчать саме про цей шлях формування позначень для чисел.
Великим прогресом було винахід "цифр". Тепер стало можливим записати будь-яке число обмеженим набором символів. Наприклад, вавілоняни розвинули потужну позиційну систему, яка базувалася на цифрах 1 і 10, але фактично її основою було число 60. Більш зручною була індійська позиційна система числення, яка дозволяла записати будь-яке натуральне число за допомогою десяти знаків - цифр вона згодом стала всесвітньо визнаною і раніше залишається такою (хоча форма цифр кілька ізменялась- цифри цієї системи ми називаємо арабськими, так як система прийшла в Європу через арабів). Таким чином, паралельно з розвитком писемності, поняття натурального числа приймає все більш абстрактну форму, відокремлену від будь-якої конкретності поняття числа, відтвореного як в формі слів в усному мовленні, так і в формі позначення спеціальними знаками в письмовій.
Важливим кроком у розвитку поняття натурального числа є усвідомлення нескінченності натурального ряду чисел - потенційної можливості його безмежного продовження. Чітке уявлення про нескінченність натурального ряду відображено в пам`ятниках античної математики (III століття до н.е.), в працях Евкліда і Архімеда. В "Засадах" Евкліда встановлюється навіть нескінченність кількості простих чисел, а в книзі Архімеда "псами" - принципи для побудови назв і позначень як завгодно великих чисел, зокрема крупніше "число піщинок в світі".
Нуль, спочатку означав відсутність числа- він став розглядатися як число тільки після введення негативних чисел нуль іноді включають в натуральних чисел).
Питання про обгрунтованість поняття натурального числа довгий час в науці не ставилося. Поняття натурального числа настільки звичне і просте, що не виникало потреби в його визначенні в термінах будь-яких більш простих понять. Лише в середині XIX століття, під впливом розвитку аксіоматичного методу в математиці з одного боку, і критичного перегляду основ математичного аналізу - з іншого, назріла необхідність обґрунтування поняття кількісного натурального числа.
Чітке визначення поняття натурального числа на основі поняття безлічі було дано в 70-х роках XIX століття в роботах Георга Кантора. Спочатку він позначає рівнопотужності множин. Потім число елементів однієї множини позначається як те спільне, що дано безліч і будь-яка інша, рівносильне їй, незалежно від якісних особливостей елементів цих множин. Таке визначення відображає суть натурального числа як результату рахунку предметів.
Інше обгрунтування поняття натурального числа базується на аналізі відношення порядку проходження, яке може бути задано за допомогою аксіом. Побудована на цьому принципі система аксіом була сформульована Джузеппе Пеано.
аксіоми Пеано



Формальне визначення натуральних чисел сформулював італійський математик Джузеппе Пеано в 1889 році. Аксіоми Пеано грунтувалися на розробках Грассмана, хоча саме Пеано надав їм сучасного вигляду. Ці аксіоми дозволили формалізувати арифметику. Після їх введення з`явилася можливість доводити, наприклад, рівність , Основні властивості натуральних чисел, а також формалізовано будувати системи цілих, раціональних, дійсних чисел.
Аксіоми Пеано:
введемо функцію , Яка зіставляє числу наступне за ним число (інакше кажучи, число, яке слід за ним).

(Одиниця є натуральним числом).
якщо , те (Число, наступне за натуральним, також є натуральним).
(Одиниця не слід за яким натуральним числом).


якщо і то (Натуральне число не може слідувати за двома різними натуральними числами).
Аксіома індукції: Нехай деякий вислів, залежне від числа , істинне для (База індукції). І нехай для кожного натурального з істинності цього вислову для випливає його істинність для (Индукционное припущення). Тоді цей вислів справжнє для всіх натуральних .

В оригіналі Джузеппе Пеано першу натуральну числом приймав 0, а не 1. Для безлічі натуральних чисел в цьому "розширеному" сенсі, тобто , Зазвичай використовують позначення або У деяких джерелах і зараз вважають це великою кількістю натуральних чисел, але загальноприйнято вважати, що найменше натуральне число - це 1 зате безліч можна назвати безліччю цілих невід`ємних чисел.
Теоретико-множинне визначення
Відповідно до теорії множин, всі об`єкти побудови будь-яких математичних систем можна трактувати як безлічі. Розвиваючи цю точку зору, натуральні числа можна означити, грунтуючись на множинах. У теоретико-множині визначенні натуральні числа включають і число 0.
Стандартне визначення
У стандартному теоретико-множині визначенні використовується конструкція, запропонована Джоном фон Нейманом. Відповідно до неї, натуральні числа ототожнюються з певними множинами, згідно наступних двох правил:



Тут, як і вище, під ми розуміємо число, наступне щодо . Числа, задані таким чином, називаються ординальні.
Ось ординальні числа і відповідні їм натуральні числа:



Згідно з цим визначенням, у множині, що відповідає числу , мають однакову елементів (в наївному розумінні) і , Якщо і тільки якщо безліч, відповідає числу , Є підмножиною множини, відповідає числу .
інші визначення
Хоча стандартна конструкція корисна, але вона не є єдино можливою конструкцією. наприклад:
Позначимо правила так:
тоді маємо





Або можна позначити правила так:
тоді маємо



Можливо, старе визначення натуральних чисел - визначення, звичайно приписуване Фреге і Расселу, в якому кожне конкретне натуральне число n позначений як безліч всіх множин з n елементами. Це визначення може здатися нечітким, але в дійсності воно може бути строго переформулювати наступним чином:



Тоді 0 буде безліччю всіх множин без елементів, буде безліччю всіх множин з 2 елементами, і так далі.
До арифметичних операцій над натуральними числами прийнято відносити такі операції:


Операції додавання і множення є основними, а інші позначаються через них, як описано вище-це характерно для будь-яких математичних структур з аналогічними операціями. Відзначимо також, що додавання і множення є замкнутими операціями в безлічі натуральних чисел, оскільки вони завжди дають в результаті натуральне число (якщо були здійснені над натуральними числами) - цього не можна сказати про віднімання і ділення.

Комутативність складання:
Комутативність множення:
Асоціативність додавання:
Асоціативність множення:
Дистрибутивність множення щодо складання:


Увага, тільки СЬОГОДНІ!