Динамічна система

Відео: Теорія динамічних систем - Олександра Скрипченко

Фазова діаграма аттрактора Лоренца - популярний приклад нелінійного динамічно системи. Подібні системи вивчає теорія хаосу динамічна система - математична абстракція, призначена для опису і вивчення систем, що еволюціонують з часом. Прикладом можуть служити механічні системи (рухомі групи тел) або фізичні процеси.
Реальним фізичним системам, що моделюється математичним поняттям «динамічної системи», приписується важлива властивість детермінованості: знаючи стан системи в початковий момент часу, ми можемо однозначно передбачити всі її подальшу поведінку. Фазовим простором динамічної системи називається безліч всіх її можливих станів в фіксований момент часу. Зазвичай стан системи задається деяким набором чисел (фазових координат) і є областю в багатовимірному просторі або різноманіття. Еволюція системи представляється як рух точки фазового простору. Крива, що описується цією точкою називається фазовою кривою або фазової траєкторією.
Як приклад розглянемо механічну систему, що складається з вантажу (матеріальної точки), що рухається по нерухомому стрижня. Припустимо, що тертя і зовнішні сили відсутні. Положення вантажу задається одним дійсним числом - його координатою в деякій фіксованій системі відліку. Однак знання однієї тільки координати не ставить повністю стан динамічної системи, оскільки не дозволяє передбачити її поведінку в майбутньому. З іншого боку, знаючи координату і швидкість в початковий момент часу, ми можемо це зробити, згадавши другий закон Ньютона (в даному випадку швидкість постійна). Кажуть, що фазовий простір такої системи двумерно. Якби вантажів було два, стан системи описувалося б чотирма числами (дві координати і дві швидкості) і система повинна чотиривимірний фазовий простір. Важливо відзначити, що кожна точка фазового простору задає стан всієї системи.
Для завдання динамічної системи необхідно описати її фазовий простір X, безліч моментів часу T і деякий правило, яке описує рух точок фазового простору з часом. Безліч моментів часу T може бути як інтервалом речової прямої (тоді говорять, що час безперервно), так і безліччю цілих або натуральних чисел (дискретний час). У другому випадку «рух» точки фазового простору більше нагадує миттєві «стрибки» з однієї точки в іншу: траєкторія такої системи є не гладкою кривою, а просто впорядкованою безліччю точок. Однак, незважаючи на зовнішню відмінність, між системами з безперервним і дискретним часом є тісний зв`язок: багато властивостей є спільними для цих класів систем або легко переносяться з одного на інший.
фазові потоки


Нехай фазовий простір X є багатовимірний простір або область в ньому, а час безперервно. Припустимо, що нам відомо, з якою швидкістю рухається кожна точка x фазового простору. Іншими словами, відома вектор-функція швидкості v (x). Тоді траєкторія точки буде рішенням автономного диференціального рівняння з початковою умовою x (0) = x 0. Задана таким чином динамічна система називається фазовим потоком для автономного диференціального рівняння.
каскади
нехай X - довільна множина, і - деяке відображення безлічі X на себе. Розглянемо ітерації цього відображення, тобто результати його багаторазового застосування до точок фазового простору. Вони задають динамічну систему з фазовим простором X і безліччю моментів часу. Дійсно, будемо вважати, що довільна точка за час 1 переходить в точку. Тоді за час 2 ця точка перейде в точку x 2 = f (x 1) = f (f (x 0)) і так далі.


якщо відображення f оборотно, можна визначити і зворотні ітерації: x - 1 = f - 1 (x 0), x - 2 = f - 1 (f - 1 (x 0)) і так далі. Тим самим отримуємо систему з безліччю моментів часу.
приклади
задає динамічну систему з безперервним часом, звану «гармонійним осцилятором». Її фазовим простором є площина (X, v), де v - швидкість точки x. Гармонійний осцилятор моделює різноманітні коливальні процеси - наприклад, поведінка вантажу на пружині. Його фазовими кривими є еліпси з центром в нулі.
Маючи яке завдання динамічної системи, далеко не завжди можна знайти і описати її траєкторії в явному вигляді. Тому зазвичай розглядаються прості (але не менше змістовні) питання про загальний поведінці системи. наприклад:

Увага, тільки СЬОГОДНІ!