Раціональні числа

Відео: Видеоурок "раціональні числа" (Математика 6 клас)

раціональні числа - в математиці безліч раціональних чисел визначається як безліч дробів з цілим чисельником і натуральним знаменником: або як безліч рішень рівняння, тобто n - натуральне число, а m - ціле число.
Безліч раціональних чисел є підмножиною дійсних чисел.
формальне визначення
Формально можна дати визначення раціональних чисел як безлічі класів еквівалентності пар по відношенню еквівалентності, якщо. При цьому операції додавання і множення визначаються наступним чином:
пов`язані визначення
правильним називається дріб, у якої модуль чисельника менше модуля знаменника.
Дріб, не є правильним, називається неправильною.
Наприклад, дробу, і - правильні,
а, і - неправильні дроби.
Будь-яке ціле число можна представити у вигляді неправильного дробу зі знаменником 1.
Дріб, записана у вигляді цілого числа і правильного дробу, називається змішаної дробом і розуміється як сума цього числа і дроби.
Наприклад.
У строгому математичної літературі запис у вигляді змішаного дробу переважно не використовується через схожість позначення змішаного дробу з позначенням твори цілого числа з дробом.
Основні властивості
Для раціональних чисел виконуються шістнадцять основних властивостей, які можна отримати з властивостей цілих чисел.

впорядкованість Для будь-яких раціональних чисел a і b існує правило, що дозволяє однозначно ідентифікувати між ними одне і тільки одне з трьох відносин: «» або «=». Це правило називається правилом впорядкування і формулюється так: два невід`ємних числа і пов`язані тим же відношенням, що і два цілих числа і, два непозитивним числа a і b пов`язані тим же відношенням, що і два невід`ємних числа і, якщо ж a неотрицательно, а b - негативно, то agt; b.




Додавання дробів

Операція складання Для будь-яких раціональних чисел a і b існує правило складання, яке ставить їм у відповідність деяке раціональне число c. При цьому число c називається сумою чисел a і b і позначається, а процес відшукання такого числа називається підсумовуванням. Правило складання має такий вигляд :.

Операція множення Для будь-яких раціональних чисел a і b існує правило множення, яке ставить їм у відповідність деяке раціональне число c. При цьому число c називається твором чисел a і b і позначається, а процес відшукання такого числа називається множенням. Правило множення має наступний вигляд :.


Транзитивність відносини порядку Для будь-трійки раціональних чисел a, b і c якщо a менше b і b менше c, то a менше c, а якщо a одно b і b одно c, то a дорівнює c.

Комутативність складання Від перестановки раціональних доданків сума не змінюється.

Асоціативність додавання Порядок складання трьох раціональних чисел не впливає на результат.

Наявність нуля Існує раціональне число 0 (нуль), яке не змінює будь-яке інше раціональне число при додаванні.

Наявність протилежних чисел. Будь-яке раціональне число має протилежне раціональне число, при додаванні до якого утворюється 0.



Комутативність множення. Від зміни місць раціональних множників твір не змінюється.

Асоціативність множення. Порядок перемноження трьох раціональних чисел не впливає на результат.

Існування одиниці Існує раціональне число 1, яке не змінює будь-яке інше раціональне число при множенні.

Наявність зворотних чисел. Будь-яке раціональне число, що не дорівнює нулю, має зворотне раціональне число, множення на яке дає 1.

Дистрибутивність множення щодо складання Операція множення узгоджена з операцією додавання за допомогою розподільного закону:

Зв`язок відносини порядку з операцією додавання До лівої і правої частин раціонального нерівності можна додавати один і той же раціональне число.

Зв`язок відносини порядку з операцією множення. Ліву та праву частини раціонального нерівності можна множити на одне й те саме додатне раціональне число.

Аксіома Архімеда. Яким би не було раціональне число a, можна взяти стільки одиниць, що їх сума перевищить a.

додаткові властивості
Решта властивості раціональних чисел не входять в основні, вони не спираються на властивості цілих чисел, а можуть бути доведені з використанням основних властивостей або за визначенням деякого математичного об`єкта. Таких властивостей дуже багато, ось деякі з них:
Нумерація раціональних чисел зліченна безліч - в теорії множин така безліч, елементи якої можна занумерувати натуральними числами. Легко довести, що безліч раціональних чисел лічильно. Для цього достатньо навести алгоритм, нумерує раціональні числа, тобто встановлює біекція між множинами раціональних і натуральних чисел. Ілюстрація зображує один з варіантів цього алгоритму. Існують і інші способи занумерувати раціональні числа. Наприклад, для цього можна використовувати ряд Фаре.

Увага, тільки СЬОГОДНІ!