Комплексні числа

Відео: Математика без Ху%! Ні. Комплексні числа, частина 1. Введення

Комплексні числа - розширення безлічі дійсних чисел, зазвичай позначається. Будь-яке комплексне число може бути представлено як формальна сума x + i y, де x і y - дійсні числа, i - уявна одиниця.
Комплексні числа утворюють алгебраїчно замкнутий поле - це означає, що многочлен ступеня n з комплексними коефіцієнтами має рівно n комплексних коренів (основна теорема алгебри). Це одна з головних причин широкого застосування комплексних чисел в математичних дослідженнях. Крім того, застосування комплексних чисел дозволяє зручно і компактно сформулювати багато математичних моделей, що застосовуються в математичній фізиці і в природничих науках - електротехніці, гідродинаміці, картографії, квантовій механіці, теорії коливань і багатьох інших.
Поле комплексних чисел можна розуміти як розширення поля дійсних чисел, в якому многочлен z 2 + 1 має корінь. Наступні дві елементарні моделі показують, що несуперечлива побудова такої системи чисел можливо. Обидва наведених визначення призводять до ізоморфних розширень поля дійсних чисел, як і будь-які інші конструкції поля розкладання многочлена z 2 + 1.
стандартна модель
комплексне число z можна визначити як упорядковану пару дійсних чисел (X, y). Введемо операції додавання і множення таких пар наступним чином:
Дійсні числа є в цій моделі підмножиною множини комплексних чисел і представлені парами виду, причому операції з такими парами узгоджені зі звичайними складанням і множенням дійсних чисел. Нуль представляється парою, одиниця -, а уявна одиниця -. На безлічі комплексних чисел нуль і одиниця мають ті ж властивості, що і на множині дійсних, а квадрат уявної одиниці, як легко перевірити, дорівнює, тобто - 1.
Нескладно показати, що певні вище операції мають ті ж властивості, що й аналогічні операції з числами. Винятком є тільки властивості, пов`язані з відношенням порядку (більше-менше), тому що розширити порядок дійсних чисел, включивши в нього всі комплексні числа і при цьому зберігши звичайні властивості порядку, неможливо.
матрична модель
Комплексні числа можна також визначити як сімейство дійсних матриць виду

зі звичайним матричним складанням і множенням. Дійсною одиниці буде відповідати

уявної одиниці -


Арифметичні дії виконуються аналогічно дій з многочленами, але з урахуванням рівності. Нехай і - комплексні числа. тоді:

Для комплексних чисел певним чином визначають також інші операції, наприклад, підйом до довільного комплексного ступеня, логарифмирования, знаходження синуса, косинуса і т.д. Деякі з цих операцій не є однозначними і ведуть до розгляду багатозначних функцій, які взагалі часто виникають при вивченні функцій комплексного змінного. Теорію про Комплексний аналіз часто називають комплексним аналізом). Одним із способів визначення елементарних функцій комплексного змінного є завдання такої функції як суми степеневого ряду, в який можна розкласти аналогічну функцію дійсної змінної (див. Ряд Тейлора).
пов`язані визначення
Нехай і - дійсні числа такі, що комплексне число (звичайні позначення). тоді

Число називається модулем числа. Для дійсного числа модуль збігається з його абсолютною величиною. Деякі властивості модуля:

, Причому тоді і тільки тоді, коли
(Нерівність трикутника)


Кут такий, що: і, називається аргументом. Для комплексного нуля значення аргументу не визначене, для ненульового числа аргумент визначається з точністю до 2 k, де k - будь-яке ціле число.

Парні числа

Якщо комплексне число, то число називається зв`язаним (або комплексно зв`язаних) к.
Перехід до парному числу можна розглядати як одномісну операцію- перерахуємо її властивості.
Узагальнення: де p (z) - довільний комплексний многочлен.
геометричне уявлення
Геометрична інтерпретація комплексних чисел. Як вже було сказано вище, комплексне число можна ототожнити з точкою площини. Крім того, його можна ототожнити з геометричним вектором, початок якого знаходиться в початку координат, а кінець - в даній точці. З геометричної інтерпретацією тісно пов`язана так звана тригонометрическая форма комплексного числа (на відміну від вище представленої форми, яку називають алгебраїчною): де і - дійсні числа, причому позитивне. У такій формі можна подати довільне комплексне число, відмінне від 0, причому виявляється, що (називається модулем числа) - це відстань між точкою і початком координат, а кут (називається аргументом числа) - кут (виражений в радіанах) між правою полуосью осі абсцис і вищезгаданим вектором, причому кут відраховується проти годинникової стрілки (а в разі руху за годинниковою стрілкою береться зі знаком «мінус»). Для переходу від однієї форми запису комплексного числа в іншу можна користуватися такими формулами:

,


,


,


-


,


.

Подання числа в тригонометричної формі єдине з точністю до цілого числа повних обертів, які можна додавати до аргументу.
З використанням операції підйому до комплексного ступеня і формули Ейлера можна переписати тригонометричну форму так:

.

Геометричне уявлення зручно для інтерпретації операцій над комплексними числами. Так, додавання і віднімання комплексних чисел рівносильно відповідно додаванню і віднімання відповідних векторів. При множенні комплексних чисел їх модулі множаться, а аргументи додаються (так що поворот навколо початку координат можна інтерпретувати як множення на певне комплексне число з одиничним модулем). При розподілі комплексних чисел їх модулі діляться, а аргументи віднімаються. При підйомі комплексного числа до цілого ступеня його модуль підноситься з цього ж ступінь, а аргумент множиться на показник ступеня-це правило називається формулою Муавра і значно спрощує виконання підйому комплексних чисел до великих ступенів.
Матричне подання комплексних чисел
Кожному комплексному числу (з дійсними і) можна поставити у відповідність квадратну матрицю 2-го порядку виду. Таке відповідність задає ізоморфізм між системою комплексних чисел і системою матриць такого виду, якщо додаванню, вирахуванню і множенню комплексних чисел поставити у відповідність звичайні додавання, віднімання і множення матриць. Легко бачити, що в цьому представлені операції комплексного сполучення відповідає транспонування матриці. Справжня одиниця представляється як одинична матриця, а уявна одиниця - як.
Неважко простежити, що дійсно вищевказані арифметичні дії дають відповідні результати при виконанні їх над числами і над відповідними матрицями (що і доводить ізоморфність цих структур):

, Що відповідає дії.
, Що відповідає дії.

Вперше, мабуть, уявні величини з`явилися у відомій праці «Велике мистецтво, або про алгебраїчних правилах» Кардано (1 545), який вважав їх непридатними до вживання. Користь уявних величин, зокрема, при вирішенні кубічного рівняння, в так званому випадку, коли дійсне коріння многочлена виражаються через кубічні корені з уявних величин, не наводиться, вперше оцінив Бомбелли (1572). Вирази виду, що з`являються при вирішенні квадратних і кубічних рівнянь, стали називати «уявними» в XVI-XVII століттях, проте навіть для багатьох великих учених XVII століття алгебраїчна і геометрична сутність уявних величин представлялася неясною. Лейбніц, наприклад, писав: «Дух Божий знайшов найтоншу віддушину в цьому диво аналізу, виродку зі світу ідей, двоїстої суті, знаходиться між буттям і небуттям, яку ми називаємо уявним коренем з негативною одиниці».
Довгий час було неясно, чи всі операції над комплексними числами приводять до комплексних результатами, або, наприклад, витяг кореня може привести до відкриття якого нового типу чисел. Завдання про висловлення кореня ступеня n з даного числа була вирішена в роботах Муавра (1707) і Котса (1722).
Символ запропонував Ейлер (1777, опубл. 1794), який взяв для цього першу букву слова лат. Imaginarius. Він же розповсюдив всі стандартні функції, включаючи логарифм, на комплексну область. Ейлер також висловив в 1751 році думку про алгебраїчної замкнутості поля комплексних чисел. До такого ж висновку прийшов Д`Аламбер (тисяча сімсот сорок сім), але перше суворе доказ цього факту належить Гауса (1799). Гаусс і ввів у широкий вжиток термін «комплексне число» в 1831 році, хоча цей термін раніше використовував в тому ж сенсі французький математик Лазар Карно в 1803 році.
Геометричне тлумачення комплексних чисел і дій над ними з`явилося вперше в роботі Весселя (1799). Перші кроки в цьому напрямку були зроблені Валлісом (Англія) в 1685 році. Сучасне геометричне уявлення, яке іноді називають «діаграмою Аргана», увійшло в побут після опублікування в 1806-м і 1814-му роках роботи Аргана, повторювала незалежно висновки Весселя.
Арифметична модель комплексних чисел як пар дійсних чисел була побудована Гамільтоном (1837) - це довело несуперечність їх властивостей. Гамільтон запропонував і узагальнення комплексних чисел - кватерніони, алгебра яких некомутативними.

решебники онлайн

Увага, тільки СЬОГОДНІ!