Гіперкомплексні числа

Відео: КОРОЛИ всіх ЧИСЕЛ. Гіперкомплексні числа. Чуть-чуть про Науці # Наука

Гіперкомплексні числа - математичні об`єкти, що будуються за подальшого узагальнення поняття про число після комплексних чисел. Часто під Гіперкомплексні системою (тобто системою, елементи якої вважаються гіперкомплексні числа) розуміють будь-яку скінченновимірна алгебра над полем. При цьому часто накладають ще додаткова умова, щоб це була алгебра над полем дійсних або комплексних чисел в першому випадку говорять про «справжню» гіперкомплексні систему, в другому - про «комплексну». Іноді не вимагають скінченновимірних. Іноді додатково вимагають, щоб система дійсних чисел була подалгебр даної системи або щоб дана система містила одиничний елемент.
Згідно з поширеним визначення кільця, в кожному кільці, а отже і в алгебрі, збувається асоціативність множення. Однак іноді говорять про «неасоціатівні кільця» і відповідно про «неасоціатівні гіперкомплексні системи». Такі системи дуже незручні для вивчення і розглядаються рідко. Разом з тим відсутність коммутативности множення цілком звичне явище для Гіперкомплексні систем. Таким чином, гіперкомплексні системи бувають комутативний і некомутативними. Інше важливе питання, в залежності від відповіді на який можна розділити гіперкомплексні системи на дві категорії: має дана система подільники нуля? У скінченновимірних алгебр відсутність дільників нуля рівносильна тому факту, що ця алгебра є тілом.
У сучасному розумінні системи дійсних і комплексних чисел є окремими випадками Гіперкомплексні системи, хоча історично природно розглядати такі гіперкомплексні системи, які є «складними» по системі комплексних чисел, зокрема, мають розмірність більше 2. Як з`ясувалося, тривимірні гіперкомплексні системи дуже незручні для вивчення , тому перш за все було побудовано і вивчено певну 4-вимірну гіперкомплексні систему - систему кватерніонів. Це приклад некомутатівноі Гіперкомплексні системи без дільників нуля. Незважаючи на незручності, спричинені некомутатівністю, кватерніони багато в чому схожі на комплексні числа і, ймовірно, можуть бути названі найближчі до них за властивостями і в деяких сенсах найпростішими для вивчення з усіх власне Гіперкомплексні чисел (тут і далі слово «власне» перед прикметником «Гіперкомплексні »означає, що дійсні і комплексні об`єкти виключаються з розгляду).
Приклади інших з числа найбільш відомих Гіперкомплексні систем: двовимірні - подвійних чисел, дуальних чисел чотиривимірні - бікомплексніх чисел, антікватерніонів. З перерахованих в цьому абзаці чисел все, крім антікватерніонів, утворюють комутативність системи, але, крім того, всі ці системи мають подільники нуля. Взагалі, згідно з теоремою Фробеніуса, все Скінченновимірні алгебри над полем дійсних чисел без дільників нуля вичерпуються трьома прикладами (з точністю до ізоморфізму): це системи дійсних чисел, комплексних чисел і кватернионов.
Щоб задати скінченновимірна гіперкомплексні систему, досить перерахувати позначення для елементів деякого її базису і записати, чому дорівнюють всі попарні твори цих елементів (а також вказати, над яким полем розглядається ця алгебра). Після цього сума або твір довільних двох елементів системи легко обчислюється з використанням властивостей операцій кільця і векторного простору. Наприклад, задаючи з такої точки зору комплексні числа, досить сказати, що це алгебра над полем дійсних чисел, базис якої складається з елементів 1 і, що задовольняють співвідношенню:
Втім, якщо в базис входить 1 (одиниця), то відомостей про неї можна не наводити, вважаючи її стандартним позначенням одиничного елемента і навіть ототожнюючи з дійсним числом 1: її твір з будь-якого боку на будь-який елемент дорівнює цьому елементу.


У 1843 році ірландський математик Вільям Гамільтон запропонував згадану вище систему кватерніонів, яка стала історично першою власне Гіперкомплексні системою. Пошуки такої системи були обумовлені тим, що множення комплексних чисел описує повороти на площині, і виникало бажання знайти щось аналогічне для поворотів в тривимірному просторі. Цього якійсь мірі вдалося досягти за допомогою кватерніонів. Теорія кватернионов незабаром стала одним з джерел розвитку таких понять, як векторний і скалярний твори векторів.
Спочатку винахід кватернионов і інших Гіперкомплексні чисел було сприйнято як подія, порівнянне за значимістю з винаходом комплексних чисел, що спонукало математиків до вельми активних досліджень в цій області. Особливо відчутний внесок зробив уже згаданий вище німецький математик Ф. Г. Фробениус.
Однак досить швидко інтерес до цієї тематики спав, тому що роль власне Гіперкомплексні чисел виявилася не настільки важливою, як роль комплексних чисел. Так що подальший розвиток в цій області відбувалося досить повільно і епізодично. Щодо досліджень цього періоду, можна, наприклад, відзначити, що в 1940-х роках виходили статті канадсько-американського математика Івана Найвен (Ivan Niven, 1915-1999), в яких досліджувалися різні властивості кватерніонів, наприклад, щодо вилучення з них коренів.
Однак останнім часом спостерігається активізація досліджень, пов`язаних з гіперкомплексні числа. Досить потужні осередки такої активності є, наприклад, в Бельгії, Польщі, Болгарії, США, Мексиці, Росії. Прихильники таких досліджень звертають увагу на те, що деякі математичні твердження набувають значно простішого вигляду або значно легше доводяться, якщо записати їх на мові дій над кватернионами або іншими гіперкомплексні числа. Однак сьогодні дуже значна кількість і таких математиків, які вважають, що користі від досліджень Гіперкомплексні систем небагато.
українські дослідники


Перш за все слід згадати, що деякий час цією тематикою займався Ю. М. Березанський: така діяльність почалася в 1950-х роках під керівництвом М. Г. Крейна, пізніше (1982) вийшла брошура Ю. М. Березанського та А. А. Калюжного «Гіперкомплексні системи з локально компактним базисом», а ще пізніше (1992) - монографія тих же авторів «гармонійний аналіз в Гіперкомплексні системах». Обидва автори - співробітники відділу функціонального аналізу Інституту математики НАНУ, так що дослідження проходили з точки зору функціонального аналізу. Отже ці дослідження носили дуже абстрактний характер. Розглянуті при цьому гіперкомплексні системи могли бути нескінченновимірних і навіть незліченні вимірними. Дослідження Березанського знайшли своє застосування в гармонійному аналізі. Абстрактність розглянутих при цьому Гіперкомплексні систем істотно відрізняє їх від усіх попередніх досліджень, про які йдеться нижче.
У Київському Інституті проблем реєстрації інформації НАН України Синьков М.В. і його команда займаються такими дослідженням гіперкомплексних числових систем (ГЧС), які дозволяють застосовувати ці системи в комп`ютерній томографії, цифрової фільтрації, криптографії. Останні дослідження проводяться в спробі пов`язати згадані вище гіперкомплексні системи Березанського та звичайні ГЧС.
Інший осередок гіперкомплексних досліджень зародився у відділі комплексного аналізу і теорії потенціалу того ж Інституту математики: нині покійний співробітник цього відділу І. П. Мельниченко почав досліджувати різні гіперкомплексні системи, розглядаючи їх питання, аналогічні тим, які стосувалися проблематики цього відділу. Ці дослідження дали початок розвитку в Україні так званого гіперкомплексні аналізу у вузькому сенсі, тобто теорії, аналогічної комплексного аналізу, але для гіперкомплексних чисел замість комплексних (як відомо, словосполученням «комплексний аналіз» прийнято позначати теорію функцій комплексного змінного, особливо аналітичних функцій).
Згодом до Гіперкомплексні діяльності приєдналися ще двоє співробітників Інституту математики НАНУ: проф. А. Ф. Турбін, основною спеціальністю якого є теорія ймовірностей, і С. А. Плакса, який працює в уже згаданому відділі комплексного аналізу і теорії потенціалу. Окремого відділу, присвяченого Гіперкомплексні дослідженням, в Інституті ні-цією діяльністю там займаються тільки згадані двоє вчених і ще кілька молодих математиків, тяжіючи при цьому в основному до проблематики відділу комплексного аналізу та теорії потенціалу (проте останнє не стосується професор А. Ф. Турбіна) .
Інший осередок український Гіперкомплексні досліджень знаходиться в Житомирі. Історія цього осередку почалася близько 2000 року завдяки тому, що завідувач кафедри математичного аналізу Житомирського державного університету (ЖДУ) доц. А. Ф. Герус познайомився під час наукової конференції з мексиканським математиком, колишнім одеситом проф. М. Шапіро, який займається найрізноманітнішими питаннями, пов`язаними з гіперкомплексні системами (переважно кватернионами). Почалося співробітництво цих двох вчених, і згодом А. Ф. Герус почав залучати до Гіперкомплексні досліджень деяких студентів і викладачів фізико-математичного факультету ЖДУ. Поступово утворилася команда житомирських гіперкомплексніків, яка демонструє досить успішну наукову роботу, в тому числі міжнародне співробітництво. Слід зазначити, що наказом ректора ЖДУ в університеті був утворений спеціальний підрозділ під назвою «Науково-дослідна лабораторія комплексного і гіперкомплексні аналізу».
Сучасні гіперкомплексні дослідження можна розділити на алгебраїчні і аналітіческіе- останні часто називають Гіперкомплексні аналізом в широкому сенсі (тобто математичний аналіз, що розглядається з залученням власне Гіперкомплексні чисел). За алгебраїчних гіперкомплексних досліджень, то українські дослідники приділяють багато уваги питанням про розв`язки гіперкомплексних поліноміальних уравненій- також характерні (особливо для професор А. Ф. Турбіна) дослідження з конструювання нових гіперкомплексіх систем і вивчення їх основних алгебраїчних характеристик. Що стосується гіперкомплексні аналізу, то для українських дослідників характерні такі напрямки: Гіперкомплексні аналіз у вузькому сенсі (тобто теорія функцій власне Гіперкомплексні змінної з акцентом на питання, аналогічні тим, які виникають при вивченні аналітичних функцій) - Гіперкомплексні функціональний аналіз.

Увага, тільки СЬОГОДНІ!