Октоніонов

Відео: Виняткові об`єкти в алгебрі і геометрії

октоніонов (Число Келі) - Гіперкомплексні числа розмірності вісім. Октоніонов були вивчені +1843 ірландським математиком Джоном Грейвзом і незалежно, через два роки Артуром Келі. На честь останнього октоніонов досить часто називають числами Келі.
Можуть бути отримані з кватерніонів за допомогою процедури подвоєння Келі-Діксона.
кожен октоніонов x може бути записаний у формі лінійної комбінації базових елементів з дійсними коефіцієнтами:



Таблиця множення базових елементів:
Алгебра октоніонов (алгебра Келі) є 8-мірної неасоціатівною, некомутатівноі алгеброю над полем дійсних чисел. Алгебру Келі зазвичай позначають (аналогічно системі раціональних чисел, системі дійсних чисел, системі комплексних чисел) Кожна з цих алгебр є розширенням попередньої:
По теоремі Фробениуса, алгебра Келі є єдиною 8-мірної дійсної альтернативної алгеброю без дільників нуля.
зв`язаних до октіона є октіон



Виконується рівність.
Норма октоніонов x за визначенням дорівнює:



Квадратний корінь існує, оскільки x * x = x x * Завжди є невід`ємним дійсним числом:



З існування норми на випливає існування зворотного елемента для всіх ненульових октоніонов.
зворотним до є:



Виконуються рівності: x x - 1 = x - 1 x = 1.

Увага, тільки СЬОГОДНІ!