Скалярний добуток

Відео: 18+ Математика без Ху%! Ні. Скалярний добуток векторів. Кут між векторами

Скалярний добуток (Англ. dot product (Англ. scalar product, ньому. Skalarprodukt, рус. Скалярний добуток) - математична операція над двома векторами. Cкалярній твір векторів і обчислюється за формулою:



де і є довжинами векторів, а дорівнює косинусу кута між цими векторами. Як і в разі звичайного множення, знак множення може не писатися: = .
У лінійної алгебри поняття скалярного твори узагальнено. Так, скалярним твором називається функція, зіставляє парі елементів векторного простору елемент з поля, над яким побудований векторний простір. Скалярний добуток двох векторів x і y позначається як . Можлива і скорочена форма запису: x y. Також можливо позначення x T y, що підкреслює зв`язок з множенням матриць.
Взагалі кажучи, для просторів існують різні варіанти скалярного твори. Простір з певним скалярним твором позначається як прегільбертів простір. Прегільбертів простір є узагальненням евклідового простору і дозволяє застосування геометричних методів для абстрактних елементів.
У лінійної алгебри скалярний добуток двох векторів

і

n-мірного евклидова простору дорівнює сумі творів координат векторів:

,

тобто для того, щоб отримати значення скалярного твори, матрицю-стовпець, яка відповідає першому з співмножників треба транспонувати і помножити на матрицю-стовпець Другий вектор за правилами множення матриць.
норма векторів
Завдяки скалярному творі, можна так обчислити норму вектора:



Якщо простір евклидово, то:



обчислення кута
В евклідовому просторі виконується наступна рівність:



На основі цього можна обчислити кут між векторами:



Основні властивості


Скалярний добуток вектора на себе невід`ємний:



З чого випливає що:



є завжди дійсним числом.
Якщо обидва вектори і паралельні, то



Якщо два вектори і взаємно перпендикулярні, то їх скалярний добуток дорівнює нулю:

.

Якщо один з векторів - одиничний, то скалярний добуток з таким вектором дорівнює довжині проекції Другий вектор на пряму, що визначається цим одиничним вектором.
Визначення стандартного скалярного твори в просторі комплексних векторів



для векторного простору над полем комплексних чисел стандартний скалярний добуток векторів визначається як відображення, яке задовольняє наступним умовам:



де межа над комплексним числом позначає комплексно-сполучених число.
Інший варіант скалярного твори можна визначити як:



Таке визначення основному використовується в фізиці.
Результати обох визначень є взаємно-сполученими комплексними числами. Для скалярного добутку вектора на самого себе, що визначає норму вектора, обидва визначення дають однаковий результат.


властивості
якщо L - лінійний простір над полем , А - Комплексно пов`язаний до L то билинейная відображення , Або, при відображення називається скалярним твором.

симетричність:
додатньовізначеність: і якщо x = 0


Скалярний твір в комплексному векторному просторі V, це ермітових додатньовізанчене півторалінійне відображення і виконуються наступні умови:

півторалінійність:
ермітовість:
додатньовізначеність: , І якщо x = 0. (Те, що дійсний, випливає з умови 2)



Дійсний або комплексний векторний простір, в якому визначений скалярний твір, називається прегільбертовім.
Стандартний скалярний твір можна представити як добуток матриць. При цьому, вектор представляється у вигляді матриці-стовпця.
У разі дійсних чисел, скалярний твір представляється як:



де знаком T позначається транспонування матриці.
У разі комплексних чисел виконується:



де знаком * позначається ермітових-сполучена матриця.
Взагалі кажучи, в разі дійсних чисел, кожна симетрична і Позитивно певна матриця A визначає скалярний твір:

-

аналогічно, в разі комплексних чисел кожна ермітових Позитивно певна матриця A визначає скалярний твір:

.


Увага, тільки СЬОГОДНІ!