Гільбертовому просторі

Відео: Про Гільбертових просторах

гільбертовому просторі (В честь Давида Гільберта) - це Банахів простір (тобто, повний нормований векторний простір), в якому визначено операція ермітових скалярного твори .
Гільбертовому просторі є узагальненням до нескінченної розмірності як евклідового простору так і ермітових простору
Норма в гільбертовому просторі задається через скалярний добуток:




білінійність
«Симетричність»
«Позитивно-визначеність» для


сесквілінійність
«Ермітовим-симетричність»


«Позитивно-визначеність» для

Прегільбертів простір - векторний простір зі скалярним твором. Умови повноти простору немає, тому він вже не є Банаха.
лінійне відображення між двома (комплексними) гільбертовому просторі називається ізометрією, якщо воне зберігає (ермітових) скалярний твір, тобто для будь-яких векторів виконується рівність (L (u), L (v)) = (U, v). За допомогою формули паралелограму, доводиться, що L є ізометрією тоді і тільки тоді, коли воно зберігає норму, тобто для будь-якого Ізометрія між двома гільбертовому просторі, яка биективное, називається изоморфизмом Гільбертових просторів.
1. Простір l 2, що складається з квадратично-підсумовніх послідовностей комплексних чисел



з ермітової скалярним твором





є комплексним гільбертовому просторі. Якщо обмежитися тільки послідовностями з дійсними членами, то отримаємо справжній гільбертовому просторі. Те, що є ряд збігається - це неочевидний факт, що потребує доведення. Збіжність ряду випливає з нерівності Коші-Буняковського, застосованої до перших n членів послідовностей і Отже, отримуємо, що
В курсі функціонального аналізу доводиться також, що простір l 2 - повний і, таким чином, задовольняє всім аксіомам гільбертовому простору.
2. гільбертовому просторі L 2 [-?,?] Квадратично-інтегрованих по Лебегу функцій на відрізку [-?,?] Утворюється з лінійного простору безперервних комплекснозначних функцій на цьому відрізку по операції поповнення. Наведемо лише визначення ермітових скалярного твори на L 2 [-?,?]
У будь-якому гільбертовому просторі H можна ввести систему координат, узагальнюючі декартові координати на площині або в звичайному тривимірному евклідовому просторі. Це досягається за допомогою вибору ортонормального базису в H.
система векторів гильбертова простора H, індексується безліччю I, називається ортогональної, якщо (U i, u j) = 0 для будь-яких і ортонормального, якщо додатково (U i, u i) = 1 для будь-якого Таким чином, ортонормального система складається з попарно ортогональних векторів гильбертова простора одиничної довжини. Система векторів називається повної, якщо їхні збори кінцевих лінійних комбінацій - щільна в H. Повна ортонормального система векторів гильбертова простору H називається ортонормального базисом в H. Повнота ортонормального системи векторів перевіряється за допомогою рівності Парсеваля, див. Нижче. координати вектора щодо даного ортонормального базису - це скаляри вектор w повністю визначений своїми координатами і може бути формально розкладений по елементах ортонормального базису:
сепарабельних Гільбертові простору утворюють найважливіший клас нескінченовімірніх Гільбертових просторів. Вони можуть бути охарактеризовані як такі, в яких можна вибрати ортонормального базис з рахункового безлічі векторів. Виявляється, що за обранням ортонормального базису будь-який (нескінченовімірній) сепарабельном гільбертовому просторі H стає ізоморфні до l 2. Дійсно, розглянемо відображення
яке зіставляє будь-якому вектора послідовність його координат щодо ортонормального базису тоді L - це лінійне відображення, і потрібно ще переконатися, що воно є ізометрією з образом l 2. Ці властивості випливають з такої рівності Парсеваля.

рівність Парсеваля

Припустимо, що - Це кінцеве або рахункове ортонормального система векторів в гільбертовому просторі H. Повнота цієї системи еквівалентна виконання наступної рівності для всіх векторів
де сума поширюється на всі елементи даної системи векторів. У будь-якому випадку, ряд в лівій частині цієї рівності збігається і його сума не перевищує по праву частину, цей факт називається нерівності Бесселя.
Рівність Парсеваля вперше з`явилася в дослідженні рядів Фур`є безперервних функцій на кінцевому інтервалі в такому вигляді:
де - Коефіцієнти Фур`є дійсної функції [thumb = left] https://mir-prekrasen.net/uploads/posts/2011-02/1298655456_3753634f047e8e583ac02f7c18d98da5a7.jpg [/ img] За елементарним перетвореннями, з цього випливає, що комплексні експоненціальні функції [img = left] https://mir-prekrasen.net/uploads/posts/2011-02/1298655431_387fe66e9e61ba14f91b846d12b57c1e60.jpg [/ thumb] утворюють ортонормального базис в визначенню вище комплексному гільбертовому просторі L 2 [-?,?].

Увага, тільки СЬОГОДНІ!