Функціональний аналіз

Відео: Лекція 1 | Функціональний аналіз | Сергій Кисляков | Лекторіум

функціональний аналіз - математична дисципліна, яка фактично є поширенням лінійної алгебри на нескінченновимірних просторах. Крім того, характер питань, які при цьому розглядаються, дозволяє вважати цю науку частиною математичного аналізу. Предметом досліджень в функціональному аналізі є функціонали і оператори.
Функціональний аналіз як самостійна дисципліна розвивався на рубежі 19 і 20 століття і остаточно сформувався в 20-30 рр 20 століття. З одного боку він розвинувся під впливом дослідження конкретних класів лінійних операторів - інтегральних операторів і пов`язаних з ними інтегральних рівнянь, з іншого - під впливом чисто внутрішнього розвитку сучасної математики з її бажанням узагальнити і тим самим пізнати справжню природу тих чи інших закономірностей. Величезний вплив на розвиток функціонального аналізу мала квантова механіка, оскільки в ній фізичним величинам, що вимірюються відповідають лінійні оператори над простором станів фізичної системи.
1. Поняття простору. Найзагальнішими просторами, що фігурують у функціональному аналізі є топологічні векторні простори. Так називається векторний (лінійний) простір над полем комплексних чисел (або дійсних). На просторі може бути введена метрика - дійсна функція від двох аргументів, що належать цьому простору, результатом якої є «відстань» між цими елементами. Слово відстань використано тут в непрямому значенні. Простір з метрикою називається метричним простором. Також відрізняють простору, на яких аксіоматично визначена норма елемента - «довжина» вектора x, | | x | |. На нормированном просторі завжди можна ввести метрику у вигляді f (x, y) = | | xy | |. Також в просторі можна визначити операцію скалярного твори яку геометрично можна інтерпретувати як кут між елементами. Простору зі скалярним твором називаються унітарними. Скалярний твір породжує норму в просторі таким чином: | | x | | 2 = (x, x). Простір який є повним відносно норми породженої скалярним твором цього простору називається гільбертовому просторі.


«Вимірність» простору - максимальна кількість лінійно незалежних елементів в цьому просторі. Безмежновімірній простір це простір, в якому для будь-якого натурального числа n існує n лінійно незалежних елементів.


2. функціонал - це відображення, що ставить у відповідність кожному елементу даного простору елемент з простору дійсних або комплексних чисел. Важливу роль у функціональному аналізі відіграють поняття неперервних функціоналів і лінійних функціоналів. Простір всіх лінійних обмежених і всюди визначених на просторі Х функціоналів називається зв`язаним до X і позначається Х `або Х *.
3. оператор - відображення, що ставить у відповідність елемент одного простору елемента з іншого. L (X, Y) - простір всіх лінійних, неперервних, всюди визначених у Х операторів. Переважно розглядаються випадки коли X i Y - нормовані або Гільбертові простору. Оператор називається зв`язаним до оператора А і позначається А * якщо (А х, y) = (x, A * y). Дуже важливим є клас самоспряжених операторів - (A x, y) = (x, A y).

Увага, тільки СЬОГОДНІ!