Теорія операторів

Відео: Plenary lectures of the Sixth International Conference on Modern Methods, Problems and Applications of Operator Theory and Harmonic Analysis VI

теорія операторів - розділ функціонального аналізу, який вивчає властивості безперервних лінійних відображень між нормованими просторами. Взагалі кажучи, оператор - це аналог звичайної функції або матриці в скінченномірному просторі. Але оператор може діяти і в нескінченновимірних просторах.
відображення T з векторного простору X в векторний простір Y називається лінійним оператором, якщо T (? x + ? y) =? T (x) + ? T (y) для будь-яких x і y з X і будь-яких скалярів? і?. часто пишуть T x замість T (x). Лінійний оператор з нормованого простору X в нормований простір Y називається обмеженим, якщо знайдеться позитивне дійсне число M таке, що для всіх . Найменша така константа M, яка задовольняє цій умові, називається нормою оператора T і позначається . Неважко бачити, що лінійний оператор між нормованими просторами обмежений тоді і тільки тоді, коли він безперервний. Під терміном «оператор» в функціональному аналізі зазвичай розуміють обмежений лінійний оператор.
Безліч всіх (обмежених лінійних) операторів з нормованого простору X в нормований простір Y позначається L (X, Y). У разі, коли X = Y пишуть L (X) замість L (X, X). якщо H - гільбертовому просторі, то зазвичай пишуть B (H) замість L (H). на L (X, Y) можна ввести структуту векторного простору через (T + S) x = T x + S x і T (? x) =? (T x), де , А? - довільний скаляр. З введеної вище операторної нормою, L (X, Y) перетворюється в нормований простір.
Зокрема, і для будь-яких і довільного скаляра?. простір L (X, Y) є банахових тоді і тільки тоді, коли Y - Банаха.
нехай X, Y і Z - нормовані простору, і . композиція S і T позначається T S і називається «твором» операторів S і T. Зауважимо, що і . якщо X - Банахів простір, то L (X) з введенням вище множенням Банаха алгеброю.


У «теорії операторів» можна виділити кілька основних розділів:

Спектральна теорія вивчає спектр оператора.


Класи операторів. Зокрема, компактні оператори, Фредгольма оператори, ізоморфізми, ізометрії, строго сингулярні оператори і т.д. Вивчають також необмежені оператори і частково визначені оператори, зокрема замкнуті оператори.
Оператори на спеціальних нормованих просторах.
Сукупності операторів (тобто підмножини L (X)): операційна алгебра, операторні напівгрупи та ін.
Теорія інваріантних підпросторів.


Увага, тільки СЬОГОДНІ!