Власний вектор

Відео: Власні значення і власні вектори матриці (4)

На зображенні ми бачимо транформации зсуву, що відбувається з Джокондой. Синій вектор змінює напрямок, а червоний - немає. Тому червоний є власним вектором такого перетворення, а синій - немає. Так як червоний вектор ні розтягнувся, ні стиснувся, його власне значення дорівнює одиниці. Всі вектори колінеарні червоному теж власні власний вектор (Англ. eigenvector) квадратної матриці (З власним значенням (Англ. eigenvalue) ) - Це ненульовий вектор , Для якого виконується співвідношення



де? це певний скаляр, тобто дійсне або комплексне число.
Тобто, власні вектори матриці A - це ненульові вектори, які під дією лінійного перетворення що задається матрицею A не змінюють напрямки, але можуть змінювати довжину на коефіцієнт?.
матриця розмірами має не більше N власних векторів і власних значень, що відповідають їм.
Співвідношення (*) має сенс також для лінійного оператора в векторному просторі V. Якщо цей простір - скінченновимірних, то оператор можна записати у вигляді матриці щодо виразно базису V.
Оскільки власні вектори і власні значення було позначено без застосування координат, які не залежать від вибору базису. Тому подібні матриці мають однакові власні значення.
Провідну роль в розумінні власних значень матриць відіграє теорема Гамільтона-Келі. З неї випливає, що власні значення матриці A і тільки вони є коренями характеристичного полінома матриці A:



p (?) є поліномом ступеня n, отже по основній теоремі алгебри, існує рівно n комплексних власних значень, враховуючи їх кратності.
Отже, матриця A має не більше n власних значень (але безліч власних векторів для кожного з них).
Запишемо характеристичний поліном через його корені:





кратність кореня характеристичного полінома матриці називається алгебраїчної кратністю власного значення
Сукупність усіх власних значень матриці або лінійного оператора в скінченновимірних векторному просторі називається спектром матриці або лінійного оператора. (Ця термінологія видозмінюється для нескінченозмірніх векторних просторів: в загальному випадку, до спектру оператора можуть належати?, Які не є власними значеннями.)
Завдяки зв`язку характеристичного полінома матриці з її власними значеннями, останні ще називають характеристичним числами матриці.
Для кожного власного значення , Отримаємо свою систему рівнянь:



що матиме лінійно незалежних рішень.
Сукупність усіх рішень системи утворює лінійний підпростір розмірності і називається власним простором (Англ. eigenspace) матриці з власним значенням .
Розмірність власного простору називається геометричній кратністю відповідного власного значення?.
Всі власні простору є інваріантними підпросторами для .
Якщо існують принаймні два лінійно-незалежні власні вектори з однаковим власним значенням?, То таке власне значення називається виродженим. Ця термінологія використовується переважно в тому випадку, якщо геометрична і алгебраїчна кратності власних значень збігаються, наприклад, для ермітових матриць.








де - Квадратна матриця розміру n x n, -Тий стовпець якої є вектор , А - Це діагональна матриця з відповідними значеннями .



Проблемою власних значень називається задача знаходження власних векторів і чисел матриці.
За визначенням (за допомогою характеристичного рівняння) можна знаходити тільки власні значення матриць розмірності менше п`яти. Характеристичне рівняння має ступінь рівну ступеня матриці. Для великих ступенів знаходження рішень рівняння стає дуже проблематичним, тому використовують різні чисельні методи
Різні завдання вимагають отримання різної кількості власних значень. Тому розрізняють кілька проблем пошуку власних значень, для кожної з яких використовують свої методи.
Здавалося б часткова проблема власних значень є частковою проблемою повної, і вирішується тими ж методами що і повна. Однак, методи застосовуються до приватних задач набагато ефективніше, тому можуть застосовуватися до матриць великої розмірності (наприклад в ядерній фізиці виникають проблеми знаходження власних значень для матриць розмірності 10 3 - 10 6).
метод Якобі



Одним з найстаріших і найбільш загальних підходів до вирішення повної проблеми власних значень є метод Якобі, вперше був опублікований в 1846.
Метод застосовують до симетричної матриці A
Це простий ітеративний алгоритм, в якому матриця з власними векторами обчислюється послідовністю умножений.

Увага, тільки СЬОГОДНІ!