Геометрія

Відео: Неевклидова геометрія. Частина перша

Сторони прямокутного трикутника. геометрія (Грец. - Земля і грец. - Міра, ізмереніе- «землеміряння») - розділ математики, що вивчає просторові форми, відносини і їх узагальнення.
концепції
Геометрія є однією з найдавніших наук. Спочатку вона була галуззю практичного знання, що розглядав довжини, площі, і обсяги.
Початкові поняття геометрії виникли в результаті відволікання від будь-яких властивостей і відносин тіл, крім взаємного розташування і величини. Перші виражаються в дотику або приляганні тіл один до одного, в тому, що одне тіло є частиною іншого, в розташуванні «між», «всередині» і т.д. Другі виражаються в поняттях «більше», «менше», в понятті про рівність тел.
Шляхом такого ж відволікання виникає поняття геометричного тіла. Геометричне тіло є абстракція, в якій зберігаються лише форма і розміри в повному відволікання від усіх інших властивостей. При цьому геометрія, як властиво математиці взагалі, абсолютно відволікається від невизначеності і рухливості реальних форм і розмірів і вважає всі досліджувані нею відносини і форми абсолютно точними і певними. Відволікання від протягу тіл призводить до понять поверхні, лінії і точки. Це явно виражено, наприклад, у визначеннях, даних Евклідом: «лінія є довжина без ширини», «поверхня є те, що має довжину і ширину». Точка без всякого протягу є абстракція, що відображає можливість необмеженого зменшення всіх розмірів тіла, уявна межа його нескінченного розподілу. Далі виникає загальне поняття про геометричної фігури, під якою розуміють не тільки тіло, поверхня, лінію або точку, але і будь-яку їх сукупність.
Геометрія в первинному значенні є наука про фігури, взаємне розташування і розміри їх частин, а також про перетворення фігур. Це визначення узгоджується з визначенням геометрії як науки про просторові форми і відносинах. Дійсно, фігура, як вона розглядається в геометрія, і є просторова форма-тому в геометрії говорять, наприклад, «куля», а не «тіло кулястої форми» - розташування і розміри визначаються просторовими отношеніямі- нарешті, перетворення, як його розуміють у геометрія , також є певне ставлення між двома фігурами - даної і тієї, в яку вона перетвориться.
У сучасному, загальному сенсі, геометрія займає різні математичні теорії, приналежність яких до геометрія визначається не лише схожістю (хоча часом і досить віддаленій) їх предмета зі звичайними просторовими формами і відносинами, але також тим, що вони історично склалися і складаються на основі геометрії в первісному її значенні, і в своїх побудовах виходять з аналізу, узагальнення і видозміни її понять. Геометрія в цьому загальному сенсі тісно переплітається з іншими розділами математики і її кордони не є точними.
Узагальнення предмета геометрії
Можливість узагальнення і видозміни геометричних понять легше усвідомити на прикладі. Так, на поверхні кулі можна з`єднувати точки найкоротшими лініями - дугами великих кіл, можна вимірювати кути і площі, будувати різні фігури. Їх вивчення складає предмет сферичної геометрії, подібно до того, як планиметрия є геометрією на площині-Геометрія на земній поверхні близька до сферичної геометрії. Закони геометрія на сфері суперечать законодавству планіметріі- так, наприклад, довжина кола тут не пропорційна радіусу, а зростає повільніше і досягає максимуму для екватора- сума кутів трикутника на сфері непостійна і завжди більше двох прямих. Аналогічно можна на будь-якій поверхні проводити лінії, вимірювати їх довжини, кути між ними, визначати обмежені ними площі. Геометрія на поверхні будується таким чином, називається його внутрішньої геометрією (Карл Гаусс, 1827). На нерівномірно вигнутій поверхні співвідношення довжин і кутів будуть різними в різних місцях, отже, вона буде геометрично неоднорідною, на відміну від площини і сфери. Можливість отримання різних геометричних співвідношень наводить на думку, що властивості реального простору можуть лише наближено описуватися звичайною геометрією. Ця ідея, вперше висловлена Лобачевским, знайшла підтвердження в загальній теорії відносності.
Широка можливість узагальнення понять геометрії з`ясовується з наступного міркування. Звичайний реальний простір розуміють в геометрія як безперервну сукупність точок, тобто всіх можливих гранично точно визначених місць розташування гранично малого тіла. Аналогічно безперервну сукупність можливих станів будь-якої матеріальної системи, безперервну сукупність будь-яких однорідних явищ можна трактувати як свого роду «простір». Ось один із прикладів. Досвід показує, що нормальне людське зір триколірний, тобто будь-яке колірне відчуття До є комбінацією - сумою трьох основних відчуттів: Ч червоного, З зеленого і З синього, з визначенням інтенсивності. Позначаючи ці інтенсивності в деяких одиницях через х, у, z, можна написати К = xЧ + yЗ + zC. Подібно до того, як точку в просторі можна рухати вгору і вниз, вправо і вліво, вперед і назад, так і відчуття кольору До може безперервно змінюватися в трьох напрямках зі зміною складових його частин - червоного, зеленого і синього. За аналогією можна сказати, що сукупність всіх кольорів є тривимірний простір - «простір кольорів». Безперервна зміна кольору можна зображувати як лінію в цьому просторі. Далі, якщо дані два кольори, наприклад червоний Ч і білий Б, то, змішуючи їх в різних пропорціях, отримують безперервну послідовність кольорів, яку можна назвати прямолінійним відрізком ЧБ. Уявлення про те, що рожевий колір Р лежить між червоним і білим і гущі рожевий лежить ближче до червоного, не вимагає роз`яснення. Таким чином, виникають поняття про найпростіші «просторові» форми (лінія, відрізок) і відносини (між, ближче) в просторі кольорів. Далі, можна ввести точне визначення відстані (наприклад, за кількістю порогів розрізнення, яке можна прокласти між двома кольорами), визначити поверхні і області кольорів, подібно до звичайних поверхонь і геометричних тіл т.д. Так виникає вчення про простір кольорів, яке шляхом узагальнення геометричних понять відображає реальні властивості колірного зору людини (див. Колориметрія).


Інший приклад. Стан газу, що знаходиться в циліндрі під поршнем, визначається тиском і температурою. Тому сукупність усіх можливих станів газу можна представляти як двовимірний простір. «Точками» цього «простору» служать стану газу- «точки» розрізняються двома «координатами» - тиском і температурою, подібно до того як точки на площині розрізняються значеннями їх координат. Безперервна зміна стану зображується лінією в цьому просторі.
Далі, можна уявити собі будь-яку матеріальну систему - механічну або фізико-хімічну. Сукупність усіх можливих станів цієї системи називають «фазовим простором». «Точками» цього простору є самі стану. Якщо стан системи визначається n величинами, то кажуть, що система має n ступенів свободи. Ці величини відіграють роль координат точки-стану, як в прикладі з газом роль координат грали тиск і температура. Згідно з цим такий фазовий простір системи називають n-мірним. Зміна стану зображується лінією в цьому просторі, окремі області станів, що виділяються з тими чи іншими ознаками, будуть областями фазового простору, а кордони областей будуть поверхнями в цьому просторі. Якщо система має тільки два ступені свободи, то її стану можна зображувати точками на площині. Так, стан газу з тиском р і температурою Т відіб`ється точкою з координатами р і Т, а процеси, що відбуваються з газом, зобразити лініями на площині. Цей метод графічного зображення загальновідомий і постійно використовується в фізиці і техніці для наочного представлення процесів і їх закономірностей. Але якщо число ступенів свободи більше 3, то просте графічне зображення (навіть у просторі) стає неможливим. Тоді, щоб зберегти корисні геометричні аналогії, вдаються до подання про абстрактне фазовий простір. Так, наочні графічні методи переростають в це абстрактне уявлення. Метод фазових просторів широко застосовується в механіці, теоретичній фізиці і фізичної хімії. У механіці рух механічної системи зображують рухом точки в її фазовому просторі. У фізичної хімії особливо важливо розглядати форму і взаємне прилягання тих областей фазового простору системи з декількох речовин, які відповідають якісно різним станам. Поверхні, що розділяють ці області, суть поверхні переходів від однієї якості до іншого (плавлення, кристалізація і т.п.). У самій геометрії також розглядають абстрактні простори, «точками» яких служать фігури-так визначають «простору» кіл, сфер, прямих і т.д. У механіці і теорії відносності вводять також абстрактний чотиривимірний простір, приєднуючи до трьох просторових координатах час як четверта координату. Це означає, що події потрібно розрізняти не тільки по положенню в просторі, але і в часі.
Таким чином, стає зрозумілим, як безперервні сукупності тих чи інших об`єктів, явищ, станів можуть підводитися під узагальнене поняття простору. У такому просторі можна проводити «лінії», що зображують безперервні послідовності явищ (станів), проводити «поверхні» і визначати відповідним чином «відстані» між «точками», даючи тим самим кількісне вираження фізичного поняття про ступінь відмінності відповідних явищ (станів), і так далі. Так за аналогією зі звичайною геометрією виникає «геометрія» абстрактного простору, вона може навіть бути схожа на звичайний простір, будучи, наприклад, неоднорідною за своїм географічним властивостям і кінцевим, подібно нерівномірно викривленій замкнутій поверхні.
Предметом геометрія в узагальненому сенсі виявляються не тільки просторові форми і відносини, але будь-які форми і відносини, які, будучи абстрактними від свого змісту, виявляються подібними зі звичайними просторовими формами і відносинами. Ці просторово-подібні форми дійсності називають «просторами» і «фігурами». Простір в цьому сенсі є безперервна сукупність однорідних об`єктів, явищ, станів, які грають роль точок простору, причому в цій сукупності є відносини, схожі з звичайними просторовими відносинами, як, наприклад, відстань між точками, рівність фігур і т.д. (Фігура - взагалі частина простору). Геометрія розглядає ці форми дійсності абстрактно від конкретного змісту, вивчення ж конкретних форм і відносин у зв`язку з їх якісно своєрідним змістом становить предмет інших наук, а геометрія служить для них методом. Прикладом може служити будь-яке застосування абстрактної геометрія, хоча б вказане вище застосування n-мірного простору в фізичної хімії. Для геометрії характерний такий підхід до об`єкта, який полягає в узагальненні та перенесенні на нові об`єкти звичайних геометричних понять і наочних уявлень. Саме це і робиться в наведених вище прикладах простору кольорів та ін. Цей геометричний підхід зовсім не є чистою умовністю, а відповідає самій природі явищ. Але часто одні й ті ж реальні факти можна зображувати аналітично або геометрично, як одну і ту ж залежність можна задавати рівнянням або лінією на графіку.
Не слід, однак, представляти розвиток геометрії так, що вона лише реєструє і описує на геометричній мові форми і відносини, які вже зустрілися на практиці, подібні просторовим. Насправді геометрія визначає широкі класи нових просторів і фігур в них, виходячи з аналізу та узагальнень даних спостережної геометрії і вже сформованих геометричних теорій. При абстрактному визначенні ці простору і фігури виступають як можливі форми дійсності. Вони, отже, не є чисто умоглядними конструкціями, а повинні служити, в кінцевому рахунку, засобом дослідження і опису реальних фактів. Лобачевський, створюючи свою геометрію, вважав її можливої теорію просторових відносин. І так само як його геометрія отримала обґрунтування в сенсі її логічної здатності і застосування до явищ природи, так і будь-яка абстрактна геометрична теорія проходить таку ж подвійну перевірку. Для перевірки логічної спроможності істотне значення має метод побудови математичних моделей нових просторів. Однак остаточно вкорінюються в науці тільки ті абстрактні поняття, які виправдані і побудовою штучної моделі, і додатками, а то й прямо в природознавстві і техніці, то хоча б в інших математичних теоріях, через які ці поняття так чи інакше пов`язані з дійсністю. Легкість, з якою математики і фізики оперують тепер різними «просторами», досягнута в результаті довгого розвитку геометрії в тісному зв`язку з розвитком математики в цілому і інших точних наук. Саме внаслідок цього розвитку склалася і набула великого значення друга сторона геометрії, зазначена в загальному визначенні, даному на початку статті: включення в геометрію дослідження форм і відносин, схожих з формами і відносинами в звичайному просторі.
Історія геометрії





Геометрія - грецьке слово. воно означає землемерие. Однак першими «землемірами» були стародавні єгиптяни. Сільське господарство могло розвиватися лише біля річки Ніл. Щороку Ніл розливався, приносячи на землі які були залиті водою, плідний мул. Кожен селянин мав наділ землі певної площі, однак розливи ріки не дозволяли раз і назажди визначити межі кожного наділу, тому після чергового розливу доводилося визначати земельну ділянку заново. Це виконували землеміри - люди, за допомогою шнура відміряли кожному селянинові ділянку з площею, яка була йому приписана. Стародавні єгиптяни не знали циркуля, його винайшли греки. Однак це їм особливо не перешкоджало. Так прямий кут вони будували мотузкою, що має довжину 12 заходів. За допомогою цієї мотузки можна побудувати трикутник зі сторонами 3, 4 і 5 заходів. Такий трикутник по теоремі Піфагора є прямокутним. Цей трикутник так і називають - єгипетським.
Оксірінхській папірус "Почав" Евкліда У стародавній Греції, починаючи з 7 ст. до н. е З часів Фалеса Мілетського починається новий етап розвитку геометрії. Вона набуває характерного для неї абстрактного напрямки-в ній виникає доведення. Грецький мислитель мілетської школи Анаксимандр здійснив першу спробу створення систематичного курсу для викладання геометрії. Перетворення це сталося шляхом абстрагування від будь-яких властивостей тіл, крім взаємного положення і величини. Наукою геометрія стала, коли від набору рецептів перейшли до встановлення загальних закономірностей. Подальші спроби побудови систематичних курсів математики відносяться Гіппократ Хиосский, Феодору Киренського, Архіт Тарентський, Евдокс Кнідський і багатьом іншим ученим. Вони створили математичну основу для подальшого розвитку науки, теоретичного природознавства і філософії Древньої Греції. Греки склали перші систематичні і доказові праці з геометрії, великий внесок внесли Евклід, Архімед, Аполлоній.
Жінка навчає дітей геометрії. Ілюстрація з паризької рукописи евклідових «Почав», початок XIV століття Центральне місце серед них займають складені близько 300 до н. е. «Начала» Евкліда. Ця праця і понині залишається зразковим викладенням в дусі аксіоматичного методу: всі положення виводяться логічним шляхом з невеликого числа явно зазначених і не доводяться припущень - аксіом. Геометрія греків, звана сьогодні евклідової, або елементарної, займалася вивченням найпростіших форм: прямих, площин, відрізків, правильних багатокутників і багатогранників, конічних перетинів, а також куль, циліндрів, призм, пірамід і конусів. Обчислюються їх площі і обсяги. Перетворення в основному обмежувалися подобою.
Декарт Середні століття трохи дали геометрії, і наступним великою подією в її історії стало відкриття Декартом (1596-1650) і П`єром Ферма (1601-1665) в XVII столітті координатного методу ( «Міркування про метод», 1637). Точках зіставляються набори чисел, це дозволяє вивчати відносини між формами методами алгебри. Так з`явилася аналітична геометрія, що вивчає фігури і перетворення, які в координатах задаються алгебраїчними рівняннями. Приблизно одночасно з цим Блеза Паскаля і Жераром Дезаргом (1591-1661) розпочато дослідження властивостей плоских фігур, які не змінюються при проектуванні з однієї площини на іншу. Цей розділ отримав назву проективної геометрії. Метод координат лежить з розвитком математичного аналізу ліг в основу нового підходу, який з`явився дещо пізніше, - диференціальної геометрії, де фігури і перетворення все ще задаються в координатах, але вже довільними досить гладкими функціями. Властивості цих фінур вивчаються за допомогою мощі і гнучкості апарату аналізу.
Гаусс Остаточне оформлення і систематичний виклад цих нових напрямків геометрії були дані в XVIII - початку XIX століття Леонардом Ейлером (1707-1783) для аналітичної геометрії (1748), Гаспаром Монжем для диференціальної геометрії (1795), Жан-Віктором Понселе для проективної геометрії (1822 ), причому саме вчення про геометричне зображення (в прямому зв`язку із завданнями креслення) було ще раніше (1799) розвинене і приведено в систему Монжем у вигляді нарисної геометрії. У всіх цих нових дисциплінах основи (аксіоми, початкові поняття) геометрії залишалися незмінними, коло самих фігур, що вивчаються і їх властивостей, а також використаних методів розширювався.
Клейн XIX століття дало два значних проривів у розвитку науки. Дослідження Лобачевського, Больяй і Карла Гаусса відкрили несуперечність неевлідовоі геометрії, в якій знаменитий п`ятий постулат Евкліда замінений на зворотне твердження. Фелікс Клейн зв`язав всі види геометрій, згідно з ним геометрія вивчає всі ті властивості фігур, інваріантні щодо перетворень з певної групи. При цьому кожна група задає свою геометрію. Так, ізометрії (руху) задає евклидову геометрію, група афінних перетворень - аффінно геометрію, група проективних перетворень - проективну геометрію, група конформних перетворень - конформну геометрію і т.д.
Двома видатними майстрами досліджень в геометрії цього часу були Бернхард Ріман, який працював переважно з інструмкентами математичного аналізу і ввів Ріманова поверхні, і Анрі Пуанкаре, засновник алгебраїчної топології і геометричної теорії динамічних систем.
Наслідком цих великих змін в геометричних поглядах концепція «простору» стала значно багатше і різноманітніше, і перетворилася в природну основу таких різних теорій, як комплексний аналіз або класична механіка. Традиційні види геометрій були визнані як загальний однорідний простір, такий простір, яке має достатню кількість симетрій, так щоб погляд з однієї чи іншої точки давав той же вид.


Увага, тільки СЬОГОДНІ!