Теорема піфагора

Відео: Теорема Піфагора. Вирішення задач

style = "float: left;" alt = "Теорема Піфагора" title = "Теорема Піфагора" Анімаційне доказ теореми Піфагора теорема Піфагора - одна з основоположних теорем евклідової геометрії, що встановлює співвідношення між сторонами прямокутного трикутника. Вважається, що вона доведена грецьким математиком Піфагором, на честь якого вона названа (є й інші версії, зокрема альтернативна думка, що ця теорема в загальному вигляді була сформульована математиком-піфагорійцем Гіппаса).
Теорема говорить:



У прямокутному трикутнику площа квадрата, побудованого на гіпотенузі дорівнює сумі площ квадратів, побудованих на катетах.



Позначивши довжину гіпотенузи трикутника c, а довжини катетів як a і b, отримаємо наступну формулу:



Таким чином, теорема Піфагора встановлює співвідношення, яке дозволяє визначити сторону прямокутного трикутника, знаючи довжини двох інших. Теорема Піфагора є окремим випадком теореми косинусів, яка визначає співвідношення між сторонами довільного трикутника.
Також доведено зворотне твердження (називають також зворотної теоремі Піфагора):



Для будь-яких трьох позитивних чисел a, b і c, таких що a? + B? = C?, Існує прямокутний трикутник з катетами a і b і гіпотенузою c.



Візуальне доказ для трикутника (3, 4, 5) з книги «Чу Пей» 500-200 до н.е. Історію теореми можна розділити на чотири частини: знання про Піфагорови числа, знання про ставлення сторін в прямокутному трикутнику, знання про ставлення суміжних кутів і доказ теореми.
Мегалітичні споруди близько 2500 до н.е. в Єгипті і Північній Європі, містять прямокутні трикутники зі сторонами з цілих чисел. Бартель Леендерт ван дер Варден висловив гіпотезу, що в ті часи Піфагорови числа були знайдені алгебраїчно.
Написаний між 2000 і 1876 до н.е. папірус часів Середнього Єгипетського царства Berlin 6619 містить завдання рішенням якої є числа Піфагора.
Під час правління Хаммурапі Великого, вівілонська табличка Plimpton 322, написана між 1790 і 1750 до н.е містить багато записів тісно пов`язаних з числами Піфагора.
В сутрах Будхаяни, які датуються за різними версіями восьмий або другий століттями до н.е. в Індії, містить Піфагорови числа виведені алгебраїчно, формулювання теореми Піфагора і геометричне доказ для рівнобедренного прямокутного трикутника.
В сутрах Апастамба (близько 600 до н.е.) міститься числове доказ теореми Піфагора з використанням обчислення площі. Ван дер Варден вважає, що воно було засноване на традиціях попередників. Згідно Альбертом Бурко, це оригінальне доведення теореми і він передбачає, що Піфагор відвідав Араконам і скопіював його.
Піфагор, роки життя якого зазвичай вказують 569 - 475 до н.е. використовує алгебраїчні методи розрахунку піфагорових чисел, згідно Проклова коментарями до Евкліда. Прокл, однак, жив між 410 і 485 роками н.е. Згідно Томасом Гизом, немає ніяких вказівок на авторство теореми протягом п`яти століть після Піфагора. Однак, коли такі автори як Плутарх або Ціцерон приписують теорему Піфагора, вони роблять це так, ніби авторство широко відомо і без сумніву.
Близько 400 до н. е відповідно Прокла, Платон дав метод розрахунку піфагорових чисел, що поєднував алгебру і геометрію. Близько 300 до н.е., в засадах Евкліда маємо найдавніше аксіоматичне доказ, яке збереглося до наших днів.
Написані десь між 500 до н.е. і 200 до н.е., китайський математична книга «Чу Пей» (????), дає візуальне доведення теореми Піфагора, яка в Китаї називається теорема гугу (????), для трикутника зі сторонами (3, 4, 5). Під час правління династії Хань, з 202 до н.е. до 220 н.е. Піфагорові числа з`являються в книзі «Дев`ять розділів математичного мистецтва» разом із згадкою про прямокутні трикутники.
Вперше зафіксовано використання теореми в Китаї, де вона відома як теорема гугу (????) і в Індії, де вона відома як теорема Баскара.
Багато дискутується була теорема Піфагора відкрита один раз або багаторазово. Бойєр (1991) вважає, що знання виявлені в Шульба Сутра можуть бути месопотамского походження.
алгебраїчне доказ
Квадрати утворюються з чотирьох прямокутних трикутників. Відомо більше ста доказів теореми Піфагора. Тут представлені докази заснований на теоремі існування площі фігури:



Розмістимо чотири однакові прямокутні трикутники так, як це зображено на малюнку.
Чотирикутник зі сторонами c є квадратом, так як сума двох гострих кутів , А розгорнутий кут - .
Площа всієї фігури дорівнює, з одного боку, площі квадрата зі стороною «a + b», а з іншого - сумі площ чотирьох трикутників і внутрішнього квадрата.










Що і потрібно було довести.
За подібністю трикутників
Використання подібних трикутників. нехай ABC - прямокутний трикутник, в якому кут C прямий, як показано на малюнку. Проведемо висоту з точки C, і назвемо H точку перетину зі стороною AB. утворений трикутник ACH подібний до трикутника ABC, оскільки вони обидва прямокутні (за визначенням висоти), і у них загальний кут A, очевидно третій кут буде в цих трикутників також однаковий. Аналогічно міркуюючи, трикутник CBH також подібний до трикутника ABC. З подібності трикутників: Якщо



тоді



Це можна записати у вигляді



Якщо додати ці дві рівності, отримаємо

HB + c times AH = c times (HB + AH) = c ^ 2,! Src = "https://upload.wikimedia.org/math/7/0/9/70922f59b11b561621c245e11be0b61b.jpg"

Іншими словами, теорема Піфагора:





доказ Евкліда
Доказ Евкліда в евклідових «Засадах», теорема Піфагора доведена методом паралелограмів. нехай A, B, C вершини прямокутного трикутника, з прямим кутом A. Опустимо перпендикуляр з точки A на сторону протилежну гіпотенузи в квадраті побудованому на гіпотенузі. Лінія ділить квадрат на два прямокутника, кожен з яких має таку ж площу, що і квадрати побудовані на катетах. Головна ідея при доказі полягає в тому, що верхні квадрати перетворюються в паралелограми такої ж площі, а потім повертаються і перетворюються в прямокутники в нижньому квадраті і знову при незмінній площі.

проведемо відрізки CF і AD, отримаємо трикутники BCF і BDA.
кути CAB і BAG - прямі-відповідно точки C, A і G - колінеарні. так само B, A і H.
кути CBD і FBA - обидва прямі, тоді кут ABD дорівнює куту FBC, оскільки обидва є сумою прямого кута і кута ABC.
трикутник ABD і FBC рівні за двома сторонами і кутом між ними.
оскільки точки A, K і L - колінеарні, площа прямокутника BDLK дорівнює двом площам трикутника ABD (BDLK = BAGF = AB 2)
Аналогічно міркуюючи отримаємо CKLE = ACIH = AC 2
З одного боку площа CBDE дорівнює сумі площ прямокутників BDLK і CKLE, а з іншого боку площа квадрата BC 2, або AB 2 + AC 2 = BC 2.

використовуючи диференціали
Використання диференціалів. Теоремі Піфагора можна прийти, якщо вивчати як приріст боку впливає на ведічіну гіпотенузи як показано на малюнку справа і застосувати невелику обчислення.
В результаті приросту боку a, з подібних трикутників для нескінченно малих збільшень



інтегруючи отримаємо



якщо a = 0 тоді c = b, так що "константа" - b 2. тоді



Як можна побачити, квадрати отримано завдяки пропорції між приростами і сторонами, тоді як сума є результатом незалежного вкладу приростів сторін, не очевидно з геометричних доказів. У цих рівняннях da і dc - відповідно нескінченно малі збільшення сторін a і c. Але замість них ми використовуємо? a і? c, тоді межа відносини, якщо вони прагнуть до нуля дорівнює da / dc, похідна, і також дорівнює c / a, відношенню довжин сторін трикутників, в результаті отримуємо диференціальне рівняння.
У разі ортогональної системи векторів має місце рівність, яку також називають теоремою Піфагора:



якщо - Це проекції вектора на координатні осі, то ця формула збігається з відстанню Евкліда і означає, що довжина вектора дорівнює кореню квадратному суми квадратів його компонентів.
Аналог цієї рівності у випадку нескінченної системи векторів називається рівності Парсеваля.

Увага, тільки СЬОГОДНІ!